Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty 8 n^2-7e^n(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty 8 n^2-7e^n(n+1)^2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries com termos positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, vamos identificar o termo geral an:
an = 8 n^2 - 7e^n (n + 1)^2
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = 8 (n+1)^2 - 7e^n+1 (n + 2)^2

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an:
an+1an = 8 (n+1)^2 - 7e^n+1 (n + 2)^2 times e^n (n + 1)^28 n^2 - 7
Simplificando os termos:
an+1an = 8 (n+1)^2 - 78 n^2 - 7 times 1e times (n + 1)^2(n + 2)^2

Passo 5

Vamos agora calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 8 (n+1)^2 - 78 n^2 - 7 times 1e times (n + 1)^2(n + 2)^2
Simplificando cada fração:
  • Para 8 (n+1)^2 - 78 n^2 - 7, quando n cresce, os termos de menor ordem (como -7) se tornam insignificantes, então essa fração tende a 8 (n+1)^28 n^2 = ( n+1n )^2 to 1.
  • Para (n + 1)^2(n + 2)^2, similarmente, quando n cresce, essa fração tende a 1.
Portanto:
L = 1 times 1e times 1 = 1e

Passo 6

Sabemos que e approx 2,718, então 1e approx 0,368, que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, como L < 1, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 8 n^2-7e^n(n+1)^2 converge.

Exercícios relacionados