Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries com termos positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Aplicando isso à nossa série, vamos identificar o termo geral an:
an+1an = 8 (n+1)^2 - 78 n^2 - 7 times 1e times (n + 1)^2(n + 2)^2
Passo 5
Vamos agora calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 8 (n+1)^2 - 78 n^2 - 7 times 1e times (n + 1)^2(n + 2)^2
Simplificando cada fração:
Para 8 (n+1)^2 - 78 n^2 - 7, quando n cresce, os termos de menor ordem (como -7) se tornam insignificantes, então essa fração tende a 8 (n+1)^28 n^2 = ( n+1n )^2 to 1.
Para (n + 1)^2(n + 2)^2, similarmente, quando n cresce, essa fração tende a 1.
Portanto:
L = 1 times 1e times 1 = 1e
Passo 6
Sabemos que e approx 2,718, então 1e approx 0,368, que é menor que 1. Segundo o Teste da Razão, como L < 1, a série converge.