Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty 2+cos nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty 2+cos nn^2 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tenta achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns critérios de convergência, como o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: 2+cos nn^2. Sabemos que o cosseno de qualquer número sempre está entre -1 e 1, ou seja, -1 <= cos n <= 1. Assim, podemos dizer que:
2 - 1 <= 2 + cos n <= 2 + 1 1 <= 2 + cos n <= 3
Dividindo tudo por n^2 (que é sempre positivo), temos:
1n^2 <= 2 + cos nn^2 <= 3n^2

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série p, que é sumn=1^infty 1n^p. Sabemos que essa série converge se p > 1. No nosso caso, p = 2, então a série sumn=1^infty 1n^2 converge.
Como nossa série sumn=1^infty 2+cos nn^2 está sempre entre sumn=1^infty 1n^2 e sumn=1^infty 3n^2, que ambas convergem, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série também converge.

Passo 4

Agora, sobre encontrar a soma dessa série: sabemos que sumn=1^infty 1n^2 = pi^26. Já a parte com o cosseno, sumn=1^infty cos nn^2, também converge, mas sua soma não é tão direta de calcular e envolve fórmulas mais avançadas de séries trigonométricas. Portanto, não conseguimos expressar a soma total de forma simples.

Resposta

A série sumn=1^infty 2+cos nn^2 converge.

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