Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tenta achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns critérios de convergência, como o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Sabemos que o cosseno de qualquer número sempre está entre -1 e 1, ou seja,
. Assim, podemos dizer que:
Dividindo tudo por
(que é sempre positivo), temos:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série p, que é
. Sabemos que essa série converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Como nossa série
está sempre entre
e
, que ambas convergem, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série também converge.
Passo 4
Agora, sobre encontrar a soma dessa série: sabemos que
. Já a parte com o cosseno,
, também converge, mas sua soma não é tão direta de calcular e envolve fórmulas mais avançadas de séries trigonométricas. Portanto, não conseguimos expressar a soma total de forma simples.
Resposta
A série
converge.