Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série Alternada e o limite de termos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a forma geral da série:
. Aqui, temos um termo alternado por causa do
. Isso indica que podemos usar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série converge.
Passo 4
Vamos verificar se
tende a zero. Calculamos:
Como
cresce muito mais rápido que
, o limite será infinito:
Isso significa que os termos
não tendem a zero.
Passo 5
Como o limite dos termos
não é zero, o Teste da Série Alternada já nos diz que a série não converge. Na verdade, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.