Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n 1+4^n1+3^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty(-1)^n 1+4^n1+3^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série Alternada e o limite de termos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a forma geral da série: sumn=1^infty(-1)^n 1+4^n1+3^n. Aqui, temos um termo alternado por causa do (-1)^n. Isso indica que podemos usar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que se os termos bn = 1+4^n1+3^n são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n vai para o infinito, então a série converge.

Passo 4

Vamos verificar se bn tende a zero. Calculamos:
limn to infty 1+4^n1+3^n
Como 4^n cresce muito mais rápido que 3^n, o limite será infinito:
limn to infty 4^n3^n = limn to infty (43)^n = infty
Isso significa que os termos bn não tendem a zero.

Passo 5

Como o limite dos termos bn não é zero, o Teste da Série Alternada já nos diz que a série não converge. Na verdade, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n 1+4^n1+3^n diverge.

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