Verifique se os pontos A(2,2), B(-1,-3) e C(1,1) são colineares.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei estes pontos do enunciado):
  • Pergunta: verificar se os pontos são colineares (isto é, se pertencem à mesma reta).
  • Pontos dados: A(2,2), B(-1,-3) e C(1,1).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressa).
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m é a inclinação: se m>0 a reta sobe da esquerda para a direita; se m<0 desce; se m não existe (denominador zero) a reta é vertical.
  • Três pontos são colineares se, ao escolher um deles como referência, as retas formadas com os outros dois têm a mesma inclinação. Ou seja, se m_{AB}=m_{AC} então A,B,C são colineares (exceto nos casos em que alguma inclinação é indefinida: então verifica-se verticalidade).
  • Vou calcular m_{AB} e m_{AC} explicitamente e comparar.

Passo 3

Cálculo da inclinação entre A e B.
  • Usando A(2,2) e B(-1,-3):
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3-2}{-1-2}=\frac{-5}{-3}.
  • Simplificando o sinal:
m_{AB}=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}.
(ou seja, a reta que passa por A e B tem inclinação \tfrac{5}{3}.)

Passo 4

Cálculo da inclinação entre A e C.
  • Usando A(2,2) e C(1,1):
m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{1-2}{1-2}=\frac{-1}{-1}.
  • Simplificando:
m_{AC}=1.
(ou seja, a reta que passa por A e C tem inclinação 1.)

Passo 5

Comparação das inclinações e conclusão.
  • Encontramos m_{AB}=\tfrac{5}{3} e m_{AC}=1.
  • Como \tfrac{5}{3}\neq 1, as retas AB e AC têm inclinações diferentes; portanto os três pontos não estão sobre a mesma reta.
  • Observação de segurança: os denominadores nos cálculos não foram zero, então não houve caso de reta vertical a tratar.

Passo 6

Confirmação alternativa (método vetorial/determinante), para reforçar a conclusão.
  • Vetores \vec{AB} e \vec{AC}:
\vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)=(-1-2,\,-3-2)=(-3,-5),
\vec{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A)=(1-2,\;1-2)=(-1,-1).
  • Se fossem colineares, existiria t tal que \vec{AB}=t\vec{AC}. Das componentes, isso exigiria -3=t(-1) e -5=t(-1), ou seja t=3 e t=5 simultaneamente, o que é impossível. Logo não são múltiplos escalares entre si.
  • Ou usando a área do triângulo ABC: a área é \tfrac{1}{2}\big|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\big|. Calculando:
S=\tfrac{1}{2}\big|2(-3-1)+(-1)(1-2)+1(2-(-3))\big|=\tfrac{1}{2}\big|-8+1+5\big|=\tfrac{1}{2}\big|-2\big|=1\neq 0.
Como a área é diferente de zero, os pontos não são colineares.

Resposta

Não, os pontos não são colineares.

Exercícios relacionados