Determine o valor de
de modo que os pontos
e
estejam alinhados.
Passo 1
O enunciado dá três pontos e pede o(s) valor(es) de
para que esses pontos sejam alinhados. Dados:
Pergunta: determinar
tal que
,
e
estejam alinhados.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): dois métodos comuns para testar colinearidade são (i) comparar declividades (inclinações) de segmentos; (ii) calcular a área do triângulo formado pelos três pontos (se for zero, são colineares). Vou usar o método das declividades porque é direto aqui.
Declividade (ou coeficiente angular) da reta que passa por dois pontos
e
é dada por
onde
representa a “subida sobre a corrida” (variação em
dividida pela variação em
). Se três pontos são colineares, a declividade entre qualquer par coincide (exceto no caso de reta vertical; então devemos garantir que não dividimos por zero). Vou comparar
com
.
Passo 3
Calcular a declividade de
para
. Usando a fórmula com
e
:
Simplificando o sinal:
Observação: esta expressão exige
, ou seja
. Se
a reta
seria vertical e teríamos que tratar separadamente; mais adiante vemos que não é o caso para as soluções encontradas.
Passo 4
Calcular a declividade de
para
. Com
e
:
Aqui é preciso
, ou seja
. Novamente, isso só seria problema se chegássemos a
, o que não acontece com as soluções abaixo.
Passo 5
Impor igualdade das declividades para colinearidade:
Resolver essa equação. Multiplicando em cruz:
Passo 6
Expandir e reorganizar para obter uma equação quadrática:
Levar todos os termos para o mesmo lado:
Passo 7
Resolver a quadrática por fórmula ou completando quadrado. Aqui uso a fórmula de Bhaskara: para
vale
No nosso caso
,
,
. Então
Como
, as raízes são
Portanto
Passo 8
Verificação rápida (substituir para checar se não há divisão por zero e se as declividades coincidem):
-
Para
: OK. -
Para
: OK.
Ambas as soluções são válidas e não geram divisões por zero.