Determine o valor de k de modo que os pontos A(k, 4), B(11, k) e C(-1,3) estejam alinhados.

Passo 1

O enunciado dá três pontos e pede o(s) valor(es) de k para que esses pontos sejam alinhados. Dados:
  • A\bigl(k,\,4\bigr)
  • B\bigl(11,\,k\bigr)
  • C\bigl(-1,\,3\bigr)
Pergunta: determinar k tal que A, B e C estejam alinhados.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática): dois métodos comuns para testar colinearidade são (i) comparar declividades (inclinações) de segmentos; (ii) calcular a área do triângulo formado pelos três pontos (se for zero, são colineares). Vou usar o método das declividades porque é direto aqui.
Declividade (ou coeficiente angular) da reta que passa por dois pontos \bigl(x_1,y_1\bigr) e \bigl(x_2,y_2\bigr) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde m representa a “subida sobre a corrida” (variação em y dividida pela variação em x). Se três pontos são colineares, a declividade entre qualquer par coincide (exceto no caso de reta vertical; então devemos garantir que não dividimos por zero). Vou comparar m_{AB} com m_{AC}.

Passo 3

Calcular a declividade de A para C. Usando a fórmula com A\bigl(k,4\bigr) e C\bigl(-1,3\bigr):
m_{AC}=\frac{3-4}{-1-k}=\frac{-1}{-1-k}.
Simplificando o sinal:
m_{AC}=\frac{1}{1+k}.
Observação: esta expressão exige 1+k\neq0, ou seja k\neq-1. Se k=-1 a reta AC seria vertical e teríamos que tratar separadamente; mais adiante vemos que não é o caso para as soluções encontradas.

Passo 4

Calcular a declividade de A para B. Com A\bigl(k,4\bigr) e B\bigl(11,k\bigr):
m_{AB}=\frac{k-4}{11-k}.
Aqui é preciso 11-k\neq0, ou seja k\neq11. Novamente, isso só seria problema se chegássemos a k=11, o que não acontece com as soluções abaixo.

Passo 5

Impor igualdade das declividades para colinearidade:
\frac{k-4}{11-k}=\frac{1}{1+k}.
Resolver essa equação. Multiplicando em cruz:
(k-4)(1+k)=11-k.

Passo 6

Expandir e reorganizar para obter uma equação quadrática:
k^2-3k-4=11-k.
Levar todos os termos para o mesmo lado:
k^2-3k-4-11+k=0
k^2-2k-15=0.

Passo 7

Resolver a quadrática por fórmula ou completando quadrado. Aqui uso a fórmula de Bhaskara: para ak^2+bk+c=0 vale
\Delta=b^2-4ac.
No nosso caso a=1, b=-2, c=-15. Então
\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=4+60=64.
Como \Delta=64, as raízes são
k=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm8}{2}.
Portanto
k=\frac{2+8}{2}=5 \qquad\text{ou}\qquad k=\frac{2-8}{2}=-3.

Passo 8

Verificação rápida (substituir para checar se não há divisão por zero e se as declividades coincidem):
  • Para k=5:
    m_{AB}=\frac{5-4}{11-5}=\frac{1}{6},\qquad m_{AC}=\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}.
    OK.
  • Para k=-3:
    m_{AB}=\frac{-3-4}{11-(-3)}=\frac{-7}{14}=-\frac{1}{2},\qquad m_{AC}=\frac{1}{1+(-3)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
    OK.
Ambas as soluções são válidas e não geram divisões por zero.

Resposta

k=5
k=-3

Exercícios relacionados