Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores em
da forma
, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.
O conjunto de todos os vetores em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial. O conjunto é formado por todos os vetores em
que têm a forma
, onde
é um número real. Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e checar se esse conjunto os satisfaz com as operações normais de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está no nosso conjunto. O vetor zero em
é
. No nosso conjunto, se
, então
. Então, sim, o vetor zero está incluído. Isso já é um bom começo!
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto. Se temos
e
, a soma deles é
. Como
ainda é um número real, o vetor resultante também tem a forma
, onde
. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto permanece no conjunto. Tá de boa!
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto. Se temos um vetor
e multiplicamos por um escalar
, obtemos
. Novamente,
é um número real, então o vetor resultante ainda tem a forma
, onde
. Então, tá tudo certo!
Resposta
Sim, o conjunto de todos os vetores em
da forma
, com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.