Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os vetores em R^2 da forma (x, x), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto específico é um espaço vetorial. O conjunto é formado por todos os vetores em R^2 que têm a forma (x, x), onde x é um número real. Para resolver isso, vamos lembrar dos axiomas de espaços vetoriais e checar se esse conjunto os satisfaz com as operações normais de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está no nosso conjunto. O vetor zero em R^2 é (0, 0). No nosso conjunto, se x = 0, então (x, x) = (0, 0). Então, sim, o vetor zero está incluído. Isso já é um bom começo!

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto. Se temos (x, x) e (y, y), a soma deles é (x + y, x + y). Como x + y ainda é um número real, o vetor resultante também tem a forma (z, z), onde z = x + y. Portanto, a soma de dois vetores do conjunto permanece no conjunto. Tá de boa!

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto. Se temos um vetor (x, x) e multiplicamos por um escalar k, obtemos (k cdot x, k cdot x). Novamente, k cdot x é um número real, então o vetor resultante ainda tem a forma (z, z), onde z = k cdot x. Então, tá tudo certo!

Resposta

Sim, o conjunto de todos os vetores em R^2 da forma (x, x), com as operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.

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