Nos exercícios de 1 a 7 determine se o conjunto dado é um espaço vetorial. Caso não seja, faça uma relação de todos os axiomas não satisfeitos.
O conjunto de todos os números racionais, com as operações usuais de adição e multiplicação.
O conjunto de todos os números racionais, com as operações usuais de adição e multiplicação.
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir se o conjunto de todos os números racionais, usando as operações normais de adição e multiplicação, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial, ou seja, os axiomas que precisam ser satisfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Isso significa que, se você somar dois números do conjunto ou multiplicar um número do conjunto por um escalar (que, nesse caso, também seria um número racional), o resultado deve continuar no mesmo conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a adição: se você pegar dois números racionais qualquer, como 1/2 e 3/4, e somar, o resultado é 5/4, que também é um número racional. Portanto, a adição está funcionando e é fechada.
Passo 4
Agora, a multiplicação por escalar: se você pegar um número racional, digamos 2/3, e multiplicar por um escalar racional, como 4/5, o resultado é 8/15, que também é racional. Então, a multiplicação por escalar também está fechada.
Passo 5
Vamos conferir os outros axiomas básicos:
- Associatividade da adição: (a + b) + c = a + (b + c). Isso funciona com racionais.
- Comutatividade da adição: a + b = b + a. Também válido.
- Elemento neutro da adição: Existe o 0 que, quando somado a qualquer número racional, não muda o valor.
- Inverso aditivo: Para todo número racional, existe seu inverso negativo.
- Distributividade: a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc. Essas propriedades também seguram nos racionais.
- Elemento neutro da multiplicação: O 1 atua como neutro na multiplicação.
- Associatividade da multiplicação: (ab)c = a(bc).
Tudo isso tá funcionando direitinho com os racionais.
Passo 6
Como todas as regras e propriedades que definem um espaço vetorial estão satisfeitas para os números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação, podemos concluir que esse conjunto realmente forma um espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os números racionais, com as operações usuais de adição e multiplicação, é um espaço vetorial.