Determine a equação da hipérbole centrada na origem e com focos em F1(-c, 0) e F2(c, 0), expressando-a em função de seu eixo maior e menor. Repita o processo para focos em F1(0, c) e F2(0,-c).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da hipérbole centrada na origem com focos em F₁(–c,0) e F₂(c,0) (transversa ao longo de x) e depois repetir o processo para focos em F₁(0,c) e F₂(0,–c) (transversa ao longo de y). Vamos usar a definição de hipérbole e chegar à forma padrão em termos dos semi-eixos a (semi-eixo transverso) e b (semi-eixo conjugado).

Passo 2

Segundo a definição, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a diferença absoluta das distâncias a dois focos é constante e igual a 2a. Para focos em F₁(–c,0) e F₂(c,0) temos
|PF₂ - PF₁| = 2a
Aqui
PF₁ = raiz(x + c)^2 + y^2, PF₂ = raiz(x - c)^2 + y^2

Passo 3

Elevamos à segunda potência para eliminar raízes. Supondo PF₂ – PF₁ = 2a e repetindo o processo para o sinal oposto, obtemos após manipulações algébricas a forma
x^2a^2 - y^2b^2 = 1,
onde a constante b² surge da relação entre a e c.

Passo 4

Para encontrar b², lembramos a relação geométrica entre focos e vértices na hipérbole: c² = a² + b². Logo,
b^2 = c^2 - a^2

Passo 5

No segundo caso, com focos em F₁(0,c) e F₂(0,–c), a hipérbole tem eixo transverso ao longo de y (a agora fica aplicado ao termo y²). Então basta trocar x e y na forma anterior, chegando a
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
com novamente b² = c² – a².

Resposta

Hipérbole com focos em F₁(–c,0), F₂(c,0):
x^2a^2 - y^2b^2 = 1, b^2 = c^2 - a^2
Hipérbole com focos em F₁(0,c), F₂(0,–c):
y^2a^2 - x^2b^2 = 1, b^2 = c^2 - a^2

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