Determine a equação da hipérbole centrada na origem e com focos em
e
, expressando-a em função de seu eixo maior e menor. Repita o processo para focos em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da hipérbole centrada na origem com focos em F₁(–c,0) e F₂(c,0) (transversa ao longo de x) e depois repetir o processo para focos em F₁(0,c) e F₂(0,–c) (transversa ao longo de y). Vamos usar a definição de hipérbole e chegar à forma padrão em termos dos semi-eixos a (semi-eixo transverso) e b (semi-eixo conjugado).
Passo 2
Segundo a definição, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a diferença absoluta das distâncias a dois focos é constante e igual a 2a. Para focos em F₁(–c,0) e F₂(c,0) temos
Aqui
Passo 3
Elevamos à segunda potência para eliminar raízes. Supondo PF₂ – PF₁ = 2a e repetindo o processo para o sinal oposto, obtemos após manipulações algébricas a forma
onde a constante b² surge da relação entre a e c.
Passo 4
Para encontrar b², lembramos a relação geométrica entre focos e vértices na hipérbole: c² = a² + b². Logo,
Passo 5
No segundo caso, com focos em F₁(0,c) e F₂(0,–c), a hipérbole tem eixo transverso ao longo de y (a agora fica aplicado ao termo y²). Então basta trocar x e y na forma anterior, chegando a
com novamente b² = c² – a².
Resposta
Hipérbole com focos em F₁(–c,0), F₂(c,0):
Hipérbole com focos em F₁(0,c), F₂(0,–c):