Fatore cada uma das matrizes abaixo como A=X Lambda X^T, onde X é uma matriz ortogonal e Lambda é uma matrix diagonal.
ll2 & 2 2 & 2

Passo 1

A matriz dada é simétrica, então podemos usar o Teorema Espectral: ela se diagonaliza por uma matriz ortogonal. Precisamos encontrar autovalores e autovetores de A, normalizá-los e montar X e Λ.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de A: det(A − λI)=det([2−λ 2; 2 2−λ])=(2−λ)^2−4. Logo,
(2-λ)^2-4 = λ^2-4λ = λ(λ-4) = 0,
os autovalores são λ_1=4 e λ_2=0.

Passo 3

Para λ_1=4, resolva (A-4I)x=0:
2-4 & 22 &2-4x=0 implies -2 &22 & -2x1x2=0, que dá x_1=x_2. Um autovetor é v_1=(1,1)^T.

Passo 4

Para λ_2=0, resolva A x=0:
2 &22 &2x1x2=0 implies x1=-x2
Um autovetor é v_2=(1,-1)^T.

Passo 5

Normalize os autovetores:
v1'=1raiz211, v2'=1raiz21-1

Passo 6

Monte X com colunas v_1’ e v_2’, e Λ=diag(4,0). Verifique que A = X Λ X^T.

Resposta

X = 1raiz21 & 1 1 & -1, Lambda = 4 & 0 0 & 0

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