Fatore cada uma das matrizes abaixo como
, onde
é uma matriz ortogonal e
é uma matrix diagonal.
Passo 1
A matriz dada é simétrica, então podemos usar o Teorema Espectral: ela se diagonaliza por uma matriz ortogonal. Precisamos encontrar autovalores e autovetores de A, normalizá-los e montar X e Λ.
Passo 2
Calcule o polinômio característico de A: det(A − λI)=det([2−λ 2; 2 2−λ])=(2−λ)^2−4. Logo,
os autovalores são λ_1=4 e λ_2=0.
Passo 3
Para λ_1=4, resolva (A-4I)x=0:
Passo 4
Para λ_2=0, resolva A x=0:
Um autovetor é v_2=(1,-1)^T.
Passo 5
Normalize os autovetores:
Passo 6
Monte X com colunas v_1’ e v_2’, e Λ=diag(4,0). Verifique que A = X Λ X^T.