Seja T: R^2 M(2,2) uma transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[rr 1 & 0 2 & 1 3 & -2 -1 & 2 ]
onde alpha e beta denotam as bases canônicas de R^2 e M(2,2), respectivamente.
(a) Determine T(1,0), T(0,1) e T(2,3).
(b) Determine T(x, y) para qualquer (x, y) in R^2.
© Encontre (a, b) tal que
T(a, b)=[rr 1 & -2 3 & 4 ]

Passo 1

O enunciado pede para analisar a transformação linear T:\mathbb{R}^2→ℳ(2,2) cuja matriz nas bases canônicas α de ℝ^2 e β de ℳ(2,2) é
[T]β^α=1 & 02 & 13 & -2-1 & 2
Precisamos de (a) imagens de (1,0),(0,1),(2,3); (b) fórmula geral de T(x,y); © resolver T(a,b)= 1 & -23 & 4.

Passo 2

Para achar T(1,0) e T(0,1), basta ler as colunas de [T]_{β}^{α}. A primeira coluna é o vetor coordenado
123-1
que na base canônica de ℳ(2,2) corresponde à matriz
T(1,0)=1 & 23 & -1
A segunda coluna é
01-22
que dá
T(0,1)=0 & 1-2 & 2

Passo 3

Usando linearidade, para (2,3) temos
T(2,3)=2,T(1,0)+3,T(0,1)=21 & 23 & -1+30 & 1-2 & 2= 2 & 46 & -2+0 & 3-6 & 6=2 & 70 & 4

Passo 4

Para T(x,y) em geral, pela mesma ideia de combinação linear:
T(x,y)=x,T(1,0)+y,T(0,1)=x1 & 23 & -1+y0 & 1-2 & 2= x & 2x+y3x-2y & -x+2y

Passo 5

Para encontrar (a,b) tal que
T(a,b)=1 & -23 & 4
equacionamos
a=1, 2a+b=-2, 3a-2b=3, -a+2b=4
Das duas primeiras: a=1 e b=-4, mas isso falha em 3a-2b=3 (daria 11≠3). Logo o sistema é inconsistente e não existe (a,b) que produza essa matriz.

Passo 6

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