Para as equações de hipérboles dadas, determine seus vértices, focos e excentricidade:
x^2-y^2=4

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com a hipérbole dada por x^2 - y^2 = 4. O conteúdo é Seções Cônicas, mais precisamente hipérboles. Para resolver, vamos colocar a equação na forma padrão de hipérbole, identificar os parâmetros a e b, e daí obter vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Começo colocando a equação na forma padrão. Divido ambos os lados por 4 para ter o lado direito igual a 1:
x^24 - y^24 = 1
Na forma x^2a^2 - y^2b^2 = 1, vemos que a^2 = 4 e b^2 = 4. Logo,
a = 2, b = 2

Passo 3

Para encontrar os vértices, lembro que numa hipérbole com eixo transverso no eixo x, eles ficam em (pm a, 0). Substituindo a = 2, os vértices são
(2,0) e (-2,0)

Passo 4

Agora vamos achar a posição dos focos. Para isso, usamos a relação que vale em hipérboles:
c^2 = a^2 + b^2
Como a^2 = 4 e b^2 = 4, temos
c^2 = 4 + 4 = 8 Rightarrow c = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Os focos estão no mesmo eixo dos vértices, ou seja, em (pm c, 0). Portanto, os focos são
(2raiz2,0) e (-2raiz2,0)

Passo 6

Por fim, a excentricidade e de uma hipérbole é dada por e = ca. Substituindo c = 2raiz2 e a = 2, obtemos
e = 2raiz22 = raiz2

Resposta

Vértices: (2,0) e (-2,0); Focos: (2√2,0) e (-2√2,0); Excentricidade: √2.

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