Suponha que
[T]=[rr 1 & -2 2 & 0 -1 & 3 ]
é a matriz que representa a transformação linear T: R^2 R^3 nas bases canônicas de R^2 e R^3. Encontre v in R^2 tal que T(v)=(2,4,-2).

Passo 1

Estamos lidando com uma transformação linear T: R^2 to R^3 cuja matriz na base canônica é
[T]=1 & -22 & 0-1 & 3
Queremos encontrar vinR^2 tal que T(v)=(2,4,-2). Vamos usar sistemas lineares para isso.

Passo 2

Seja v=(x,y). Então
T(v)=[T]xy =1 & -22 & 0-1 & 3 xy =x-2y2x-x+3y
Queremos que esse resultado seja (2,4,-2), logo obtemos o sistema:

Passo 3

x-2y=2 2x=4 -x+3y=-2

Passo 4

Da segunda equação 2x=4 segue x=2. Substituindo em x-2y=2
2-2y=2implies -2y=0implies y=0
Verificando na terceira equação: -2+3cdot0=-2, ok.

Passo 5

Assim chegamos a x=2 e y=0, ou seja v=(2,0).

Resposta

v=(2,0)

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