Determine a equação da hipérbole, dados:
Os focos F1(8,0) e F2(-8,0) e vértices A1(5,0) e A2(-5,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são F1(8,0) e F2(-8,0) e cujos vértices são A1(5,0) e A2(-5,0).
Isso envolve usar a forma reduzida da hipérbole com eixo transverso horizontal
x^2a^2 - y^2b^2 = 1,
onde a, b e c (distância do centro ao foco) satisfazem
c^2 = a^2 + b^2
Vamos identificar a e c, calcular b e escrever a equação.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos vértices (5,0) e (-5,0), ou dos focos, e isso dá (0,0).
A distância do centro a cada vértice é
a = 5,
e a distância do centro a cada foco é
c = 8

Passo 3

Usando a relação entre os parâmetros da hipérbole,
c^2 = a^2 + b^2,
temos
8^2 = 5^2 + b^2 Longrightarrow 64 = 25 + b^2 Longrightarrow b^2 = 39

Passo 4

Substituindo a^2 = 25 e b^2 = 39 na forma reduzida, obtemos
x^225 ;-;y^239 ;=;1

Resposta

x^225 - y^239 = 1

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