Provar que o área do paralelogramo limitado pelas assíntotas da hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
e as retas traçadas por qualquer de seus pontos e paralelas às assíntotas é igual a
a b2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (x0,y0) é ponto qualquer da hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1,
então o paralelogramo formado pelas duas assíntotas
y=ba,x, y=-ba,x
e pelas duas retas que passam por (x0,y0) e são paralelas a essas assíntotas tem área constante igual a tfracab2. Vamos usar geometria analítica: escrever as equações das quatro retas, achar os seus quatro vértices por interseção e calcular a área por determinante.

Passo 2

Denotemos as assíntotas por
L+: y=ba,x, L-: y=-ba,x,
e as paralelas que passam por (x0,y0) por
ell1: y-y0=ba(x-x0), ell2: y-y0=-ba(x-x0)
Reescrevendo em forma y=(dots)x+(dots) obtemos
ell1: y=ba,x + c1, c1=y0-bax0,
ell2: y=-ba,x + c2, c2=y0+bax0

Passo 3

As quatro retas formam um paralelogramo cujos vértices são:
(i) interseção de L+ com L-, que é a origem O=(0,0);
(ii) interseção de ell1 com L-;
(iii) interseção de ell2 com L+;
(iv) interseção de ell1 com ell2, que é o próprio ponto (x0,y0).
Vamos achar (ii) e (iii):
Para ell1cap L-:
bax + c1 = -bax ;Longrightarrow; 2bax = -c1 ;Longrightarrow; x1=-a2b,c1,
y1=-bax1=c12
Logo Q1=l(-tfraca2bc1,,tfracc12r).
Para ell2cap L+:
-bax + c2 = bax ;Longrightarrow; 2bax = c2 ;Longrightarrow; x2=a2b,c2,
y2=bax2=c22
Logo Q2=l(tfraca2bc2,,tfracc22r).

Passo 4

Os quatro vértices do paralelogramo são
O=(0,0),; Q2=l(tfraca2bc2,tfracc22r),; (x0,y0),; Q1=l(-tfraca2bc1,tfracc12r)
Uma forma rápida de achar a área é usar os vetores de O a Q1 e de O a Q2. Seja
v1=Q1-O =l(-tfraca2bc1,,tfracc12r), v2=Q2-O =l(tfraca2bc2,,tfracc22r)
A área do paralelogramo vale
l|det[v1,v2]r| = l|,x1y2-y1x2r| = l|-tfraca2bc1cdottfracc22 - tfracc12cdottfraca2bc2r| = l|,-a2b,c1c2r|

Passo 5

Como (x0,y0) está na hipérbole,
x0^2a^2-y0^2b^2=1 ;Longrightarrow; y0^2-b^2a^2x0^2=-b^2
Mas
c1c2 =l(y0-tfracbax0r) l(y0+tfracbax0r) =y0^2-b^2a^2x0^2 =-b^2
Logo
l|,-a2b,c1c2r| =a2b,l|b^2r| =ab2

Resposta

A área do paralelogramo é dfracab2.

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