Provar que o área do paralelogramo limitado pelas assíntotas da hipérbole
e as retas traçadas por qualquer de seus pontos e paralelas às assíntotas é igual a
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é ponto qualquer da hipérbole
então o paralelogramo formado pelas duas assíntotas
e pelas duas retas que passam por e são paralelas a essas assíntotas tem área constante igual a . Vamos usar geometria analítica: escrever as equações das quatro retas, achar os seus quatro vértices por interseção e calcular a área por determinante.
Passo 2
Denotemos as assíntotas por
e as paralelas que passam por por
Reescrevendo em forma obtemos
Passo 3
As quatro retas formam um paralelogramo cujos vértices são: (i) interseção de com , que é a origem ; (ii) interseção de com ; (iii) interseção de com ; (iv) interseção de com , que é o próprio ponto .
Vamos achar (ii) e (iii):
Para :
Logo .
Para :
Logo .
Passo 4
Os quatro vértices do paralelogramo são
Uma forma rápida de achar a área é usar os vetores de a e de a . Seja