Sejam
subconjuntos de
. A diferença simétrica entre
e
é o subconjunto
de
definido por:
.
Mostre que
se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos
como
e pede para mostrar que
se, e somente se,
. Vamos usar definições básicas de conjunto e provar as duas implicações.
Passo 2
Prova de “se
então
”.
Suponha que . Para provar
basta mostrar
e
.
Suponha que
-
Seja
. Como , não pode ocorrer que . Mas significa e . Já sabemos , logo para evitar precisamos ter . Assim . -
De modo análogo, seja
. Como , não pode ser que . Mas isso exigiria e . Logo e .
Portanto
.
Passo 3
Prova de “se
então
”.
Se , então
Se
Logo
Resposta
Mostramos as duas implicações, portanto concluímos que