Sejam A, B subconjuntos de X. A diferença simétrica entre A e B é o subconjunto A De<a B de X definido por: A De<a B:=(A-B) cup(B-A).
Mostre que A De<a B=varnothing se, e somente se, A=B.

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos A,Bsubseteq X como
ADe<a B:=(A - B)cup(B - A)
e pede para mostrar que ADe<a B=varnothing se, e somente se, A=B. Vamos usar definições básicas de conjunto e provar as duas implicações.

Passo 2

Prova de “se ADe<a B=varnothing então A=B”.
Suponha que ADe<a B=varnothing. Para provar A=B basta mostrar Asubseteq B e Bsubseteq A.
  1. Seja xin A. Como ADe<a B=varnothing, não pode ocorrer que xin(A-B). Mas xin(A-B) significa xin A e xnotin B. Já sabemos xin A, logo para evitar xin(A-B) precisamos ter xin B. Assim Asubseteq B.
  2. De modo análogo, seja yin B. Como B-Asubseteq ADe<a B=varnothing, não pode ser que yin(B-A). Mas isso exigiria yin B e ynotin A. Logo yin A e Bsubseteq A.
Portanto A=B.

Passo 3

Prova de “se A=B então ADe<a B=varnothing”.
Se A=B, então
A - B = A - A = varnothing e B - A = A - A = varnothing
Logo
ADe<a B = (A-B)cup(B-A) = varnothingcupvarnothing = varnothing

Resposta

Mostramos as duas implicações, portanto concluímos que
ADe<a B=varnothing Long<=ftrightarrow A=B

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