Sejam
subconjuntos de
. A diferença simétrica entre
e
é o subconjunto
de
definido por:
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos
como
e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, e vamos usar o método da dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.
Passo 2
Mostramos
.
Seja . Então ou
Seja
-
, i.e. e ,
ou -
, i.e. e .
Em ambos os casose . Portanto
e concluímos a inclusão desejada.
Passo 3
Mostramos
.
Seja . Então
Seja
-
, ou seja ou , - mas
, isto é, não pode acontecer e simultaneamente.
Logo ou
-
e , então ,
ou -
e , então .
Em qualquer caso.
Passo 4
Como houve dupla inclusão, concluímos pela propriedade extensionalidade de conjuntos que