Sejam A, B subconjuntos de X. A diferença simétrica entre A e B é o subconjunto A De<a B de X definido por: A De<a B:=(A-B) cup(B-A).
Mostre que A De<a B=(A cup B)-(A cap B).

Passo 1

O enunciado define a diferença simétrica de dois subconjuntos A,Bsubseteq X como
ADe<a B:=(A - B);cup;(B - A)
e pede para mostrar que
ADe<a B ;=;(Acup B);-;(Acap B)
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, e vamos usar o método da dupla inclusão: mostrar que cada lado está contido no outro.

Passo 2

Mostramos (A - B)cup(B - A)subseteq (Acup B)-(Acap B).
Seja xin (A - B)cup(B - A). Então ou
  1. xin A-B, i.e. xin A e xnotin B,
    ou
  2. xin B-A, i.e. xin B e xnotin A.
    Em ambos os casos xin Acup B e xnotin Acap B. Portanto
xin (Acup B)-(Acap B),
e concluímos a inclusão desejada.

Passo 3

Mostramos (Acup B)-(Acap B)subseteq (A - B)cup(B - A).
Seja xin (Acup B)-(Acap B). Então
  • xin Acup B, ou seja xin A ou xin B,
  • mas xnotin Acap B, isto é, não pode acontecer xin A e xin B simultaneamente.
    Logo ou
  1. xin A e xnotin B, então xin A-B,
    ou
  2. xin B e xnotin A, então xin B-A.
    Em qualquer caso xin (A-B)cup(B-A).

Passo 4

Como houve dupla inclusão, concluímos pela propriedade extensionalidade de conjuntos que
(A-B)cup(B-A) ;=; (Acup B)-(Acap B)

Resposta

ADe<a B ;=;(Acup B);-;(Acap B)

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