2 Determine a equação da hipérbole de vértices Q=( \pm 6,0) e assíntotas 7 x \pm 6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujo centro é a origem, com vértices em Q=(\pm6,0) e assíntotas dadas por
7x\pm6y=0.
O conteúdo usado será a forma canônica da hipérbole com eixo transverso horizontal,
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
onde a vem dos vértices e b é determinado a partir das assíntotas.

Passo 2

Como os vértices estão em (\pm6,0), temos
a=6
e a hipérbole tem formato
\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
ou seja
\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Passo 3

As assíntotas da hipérbole canônica com eixo horizontal são
y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Comparando com as retas
7x\pm6y=0\quad\Longrightarrow\quad y=\mp\frac{7}{6}x,
vemos que
\frac{b}{a}=\frac{7}{6}.
Como a=6, segue que
b=6\cdot\frac{7}{6}=7.

Passo 4

Substituindo a=6 e b=7 na forma canônica, obtemos
\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{49}=1.

Resposta

\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{49}=1.

Exercícios relacionados