1 Seja
. Dê um exemplo de ponto de máximo e mínimo globais para a função
dada por
. Eles são únicos? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e a função
.
Como é compacto e
é contínua, o Teorema de Weierstrass garante existência de máximos e mínimos globais. Para encontrá-los, buscamos pontos críticos no interior (
) e na fronteira (
), usando parametrização.
e a função
Como
Passo 2
No interior de
, resolvemos
logo o único ponto crítico interno é
, onde
.
Passo 3
Na fronteira
, use a parametrização
Então
Esse valor atinge máximo
quando
e mínimo
quando
.
Passo 4
As soluções são:
– Máximo em
– Máximo
que dá
e
.
– Mínimo em
– Mínimo
que dá
e
.
Passo 5
Escolhendo exemplos:
– Um ponto de máximo global é com
.
– Um ponto de mínimo global é com
.
Não são únicos: cada extremo ocorre em dois pontos simétricos.
– Um ponto de máximo global é
– Um ponto de mínimo global é
Não são únicos: cada extremo ocorre em dois pontos simétricos.
Resposta
Um ponto de máximo global é
com
, e um de mínimo global é
com
. Esses extremos não são únicos, pois também ocorrem em
(outro máximo) e
(outro mínimo).