1 Seja B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}. Dê um exemplo de ponto de máximo e mínimo globais para a função f: B \longrightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y)=x y. Eles são únicos? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\;B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1\}
e a função
\;f(x,y)=x\,y.
Como B é compacto e f é contínua, o Teorema de Weierstrass garante existência de máximos e mínimos globais. Para encontrá-los, buscamos pontos críticos no interior ( \nabla f=0) e na fronteira ( x^2+y^2=1), usando parametrização.

Passo 2

No interior de B, resolvemos
\frac{\partial f}{\partial x}=y=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x=0,
logo o único ponto crítico interno é (0,0), onde
\;f(0,0)=0.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=1, use a parametrização
x=\cos t, \quad y=\sin t.
Então
f(\cos t,\sin t) =\cos t\;\sin t =\tfrac12\sin(2t).
Esse valor atinge máximo \tfrac12 quando \sin(2t)=1 e mínimo -\tfrac12 quando \sin(2t)=-1.

Passo 4

As soluções são:
– Máximo \tfrac12 em
2t=\tfrac\pi2+2\pi k \;\Longrightarrow\; t=\tfrac\pi4+k\pi,
que dá \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) e \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr).
– Mínimo -\tfrac12 em
2t=\tfrac{3\pi}2+2\pi k \;\Longrightarrow\; t=\tfrac{3\pi}4+k\pi,
que dá \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) e \bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr).

Passo 5

Escolhendo exemplos:
– Um ponto de máximo global é \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) com f=+\tfrac12.
– Um ponto de mínimo global é \bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr) com f=-\tfrac12.
Não são únicos: cada extremo ocorre em dois pontos simétricos.

Resposta

Um ponto de máximo global é \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) com f=+\tfrac12, e um de mínimo global é \bigl(\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr) com f=-\tfrac12. Esses extremos não são únicos, pois também ocorrem em \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac1{\sqrt2}\bigr) (outro máximo) e \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) (outro mínimo).

Exercícios relacionados