Questão 3. Use o Teorema de Stokes para calcular
, onde
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície
formada pelo topo (
) e pelos quatro lados do cubo de vértices
, sem o fundo (
), orientada para fora. Pede-se
e vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de superfície a uma integral de linha no contorno de
.
Passo 2
O Teorema de Stokes afirma:
Aqui
é a fronteira de
, isto é, o contorno aberto formado pelas arestas do quadrado que fica em
.
Passo 3
Como
não inclui o fundo,
é o quadrado no plano
cujos vértices são
,
,
,
. A orientação “para fora” da superfície dá à curva
o sentido horário quando vista de cima (no eixo
).
Passo 4
Na curva
temos
constante, logo
Logo
Passo 5
Note que
Integrar uma diferencial exata ao longo de um laço fechado dá zero:
Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície também é zero.