Questão 3. Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{rot} F \cdot d S, onde
F(x, y, z)=x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}+3 z \mathbf{k}
S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( \pm 1, \pm 1, \pm 1), com orientação para fora.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}+3z\,\mathbf{k}
e a superfície S formada pelo topo ( z=1) e pelos quatro lados do cubo de vértices (\pm1,\pm1,\pm1), sem o fundo ( z=-1), orientada para fora. Pede-se
\iint_{S}\bigl(\nabla\times F\bigr)\cdot dS
e vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de superfície a uma integral de linha no contorno de S.

Passo 2

O Teorema de Stokes afirma:
\iint_{S}\bigl(\nabla\times F\bigr)\cdot dS \;=\;\oint_{\partial S}F\cdot dr.
Aqui \partial S é a fronteira de S, isto é, o contorno aberto formado pelas arestas do quadrado que fica em z=-1.

Passo 3

Como S não inclui o fundo, \partial S é o quadrado no plano z=-1 cujos vértices são (1,1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,-1), (1,-1,-1). A orientação “para fora” da superfície dá à curva \partial S o sentido horário quando vista de cima (no eixo z).

Passo 4

Na curva \partial S temos z=-1 constante, logo
F\bigl(x,y,-1\bigr)=(x,\,2y,\,-3), \quad dr=(dx,\,dy,\,0).
Logo
F\cdot dr = x\,dx \;+\;2y\,dy.

Passo 5

Note que
x\,dx+2y\,dy =\;d\!\Bigl(\tfrac12x^2+y^2\Bigr).
Integrar uma diferencial exata ao longo de um laço fechado dá zero:
\oint_{\partial S}x\,dx+2y\,dy =\;0.
Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície também é zero.

Resposta

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