3 Encontre a equação da hipérbole de centro (8,6) e parâmetros geométricos a=3, b=4, c=5. Sendo (4,3) \mathrm{um} dos focos.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole de centro (8,6) com parâmetros a=3, b=4, c=5 e um dos focos em (4,3). Para resolver vamos usar a forma reduzida da hipérbole em eixos próprios
\frac{{X'}^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{{Y'}^{2}}{b^{2}} \;=\;1
e a rotação de coordenadas que leva (x,y) para (X',Y') alinhados ao eixo transverso da hipérbole.

Passo 2

Precisamos determinar a direção do eixo transverso. O vetor do centro ao foco é
(\Delta x,\Delta y) = (4-8,\;3-6) = (-4,\,-3).
Como \sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=5=c, a direção faz um ângulo \theta com o eixo x tal que
\cos\theta = \frac{-4}{5}, \quad \sin\theta = \frac{-3}{5}.

Passo 3

Definimos as coordenadas (X',Y') giradas de (x,y) em torno do centro (h,k)=(8,6):
X' = (x-8)\cos\theta + (y-6)\sin\theta,
Y' = -(x-8)\sin\theta + (y-6)\cos\theta.
Substituindo \cos\theta=-\tfrac{4}{5} e \sin\theta=-\tfrac{3}{5} obtemos
X' = \frac{-4(x-8) -3(y-6)}{5}, \quad Y' = \frac{3(x-8) -4(y-6)}{5}.

Passo 4

Na forma padrão a hipérbole é
\frac{{X'}^{2}}{3^{2}} \;-\;\frac{{Y'}^{2}}{4^{2}} \;=\;1.
Substituindo X' e Y' e simplificando os quadrados (o sinal na frente desaparece ao elevar ao quadrado) resulta
\frac{\bigl(4(x-8)+3(y-6)\bigr)^{2}}{25\cdot9} \;-\; \frac{\bigl(3(x-8)-4(y-6)\bigr)^{2}}{25\cdot16} \;=\;1
ou seja
\frac{\bigl(4(x-8)+3(y-6)\bigr)^{2}}{225} \;-\; \frac{\bigl(3(x-8)-4(y-6)\bigr)^{2}}{400} \;=\;1.

Resposta

\boxed{\frac{\bigl(4(x-8)+3(y-6)\bigr)^{2}}{225} \;-\; \frac{\bigl(3(x-8)-4(y-6)\bigr)^{2}}{400} =1.}

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