3 Encontre a equação da hipérbole de centro
e parâmetros geométricos
. Sendo
dos focos.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole de centro
com parâmetros
,
,
e um dos focos em
. Para resolver vamos usar a forma reduzida da hipérbole em eixos próprios
e a rotação de coordenadas que leva
para
alinhados ao eixo transverso da hipérbole.
Passo 2
Precisamos determinar a direção do eixo transverso. O vetor do centro ao foco é
Como
, a direção faz um ângulo
com o eixo
tal que
Passo 3
Definimos as coordenadas
giradas de
em torno do centro
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Na forma padrão a hipérbole é
Substituindo
e
e simplificando os quadrados (o sinal na frente desaparece ao elevar ao quadrado) resulta
ou seja