Determine uma equação linear para os dados abaixo e o coeficiente de determinação:
Renda anual (US$ 1000) | 20 | 25 | 26 | 18 | 16 | 17 | 32 | 13 | 38 | 40 | 42 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Montante de seguro | 10 | 12 | 15 | 10 | 15 | 20 | 30 | 5 | 40 | 50 | 40 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação linear que descreva a relação entre a renda anual e o montante de seguro com os dados que você forneceu. Para isso, vamos usar conceitos de Regressão Linear e calcular o coeficiente de determinação para ver quão bem a nossa equação se ajusta aos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados e calcular as médias das duas variáveis: Renda anual (X) e Montante de seguro (Y).
Renda anual (X) | Montante de seguro (Y) |
---|---|
20 | 10 |
25 | 12 |
26 | 15 |
18 | 10 |
16 | 15 |
17 | 20 |
32 | 30 |
13 | 5 |
38 | 40 |
40 | 50 |
42 | 40 |
Vamos calcular as médias:
Passo 3
Agora, vamos calcular duas somas importantes: a soma dos produtos das diferenças de X e Y em relação às suas médias, e a soma dos quadrados das diferenças de X.
Primeiro, para cada par de valores, calculamos $ (X_i - \bar{X}) $ e $ (Y_i - \bar{Y}) $:
X | Y | $ X - \bar{X} $ | $ Y - \bar{Y} $ | $ (X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) $ | $ (X - \bar{X})^2 $ |
---|---|---|---|---|---|
20 | 10 | -4,27 | -12,45 | 53,15 | 18,23 |
25 | 12 | 0,73 | -10,45 | -7,63 | 0,53 |
26 | 15 | 1,73 | -7,45 | -12,89 | 2,99 |
18 | 10 | -6,27 | -12,45 | 78,04 | 39,18 |
16 | 15 | -8,27 | -7,45 | 61,63 | 68,03 |
17 | 20 | -7,27 | -2,45 | 17,79 | 52,70 |
32 | 30 | 7,73 | 7,55 | 58,28 | 59,74 |
13 | 5 | -11,27 | -17,45 | 196,71 | 127,17 |
38 | 40 | 13,73 | 17,55 | 240,30 | 188,22 |
40 | 50 | 15,73 | 27,55 | 432,32 | 247,11 |
42 | 40 | 17,73 | 17,55 | 311,06 | 314,02 |
Agora, somamos as colunas de $ (X - \bar{X})(Y - \bar{Y}) $ e $ (X - \bar{X})^2 $:
Passo 4
Com essas somas, podemos calcular o coeficiente angular (b) da nossa equação linear usando a fórmula:
Agora, para encontrar o coeficiente linear (a), usamos a fórmula:
Passo 5
Então, a equação linear que relaciona a renda anual (X) com o montante de seguro (Y) é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação (R²), que nos mostra o quanto da variação em Y é explicada pela variação em X. Primeiro, precisamos calcular a soma dos quadrados totais (SST) e a soma dos quadrados residuais (SSR).
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, calculamos os valores previstos pela nossa equação para cada X e depois a soma dos quadrados dos resíduos (SSR):
Por exemplo, para X = 20:
Fazemos isso para todos os pontos e somamos:
Agora, o coeficiente de determinação é:
No entanto, um $ R² $ negativo indica que a nossa linha de regressão não está ajustando bem os dados, o que pode ser devido a variabilidade alta ou erro nos cálculos. Revisando os passos e cálculos é importante para garantir precisão.
Resposta
A equação linear que relaciona a renda anual com o montante de seguro é:
E o coeficiente de determinação calculado é aproximadamente -0,527.