Um senador afirma que no máximo 20 % dos eleitores de seu estado são favoráveis a um projeto em estudo pelo governo. Numa amostra aleatória de 100 eleitores, 11 são favoráveis ao projeto. Teste a afirmação do senador ao nível de 1 %.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Um senador tá dizendo que, no máximo, 20% dos eleitores do estado dele são a favor de um projeto do governo. A gente fez uma amostra aleatória de 100 eleitores e descobriu que 11 deles são favoráveis ao projeto. O desafio é testar se essa afirmação do senador tá correta, usando um nível de confiança de 1%.
Para resolver isso, vamos precisar usar teste de hipótese para proporção. Isso envolve definir hipóteses, calcular estatística de teste, e decidir se a evidência da amostra é suficiente para rejeitar a afirmação do senador.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses do teste. No teste de hipótese, temos duas hipóteses principais:
  • Hipótese Nula (H₀): É a afirmação que queremos testar. Aqui, o senador afirma que no máximo 20% dos eleitores são favoráveis. Então, H₀: p ≤ 0,20
  • Hipótese Alternativa (H₁): É o que queremos provar. Nesse caso, queremos ver se a porcentagem de eleitores favoráveis é maior que 20%. Então, H₁: p > 0,20

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Tivemos 11 eleitores favoráveis em 100, então a proporção amostral (p̂) é:
p = 11100 = 0,11

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão (EP) para uma proporção é dado por:
EP = raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • $ p_0 $ é a proporção na hipótese nula (0,20)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (100)
Substituindo os valores:
p0

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor z da nossa amostra, que nos ajuda a comparar a proporção observada com a proporção da hipótese nula:
z = p - p0EP = 0,11 - 0,200,04 = -0,090,04 = -2,25

Passo 6

Precisamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 1%. Como estamos testando se a proporção é maior que 20%, usaremos um teste unilateral à direita.
O valor crítico z para um nível de significância de 1% é aproximadamente 2,33.

Passo 7

Agora, comparamos o valor z calculado com o valor crítico:
  • Se $ z > 2,33 $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ z \leq 2,33 $, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, $ z = -2,25 $ que é menor que 2,33.

Passo 8

Como $ z = -2,25 $ não é maior que 2,33, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não temos evidências suficientes para afirmar que mais de 20% dos eleitores são favoráveis ao projeto.

Resposta

Não há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do senador de que no máximo 20 % dos eleitores são favoráveis ao projeto ao nível de 1 % de significância.

Exercícios relacionados