Determine a equaçäo(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^4, W gerado pelos vetores [c-1 1 0 0] cdot[l2 1 3 0] cdot[c0 0 2 -1]

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^4 e o subespaço W gerado pelos vetores
v1=-1100, v2=2130, v3=002-1
Queremos encontrar as equações lineares que descrevem exatamente W. A estratégia é determinar o anulador de W, isto é, W^perp, e usar essas condições para escrever as equações de W.

Passo 2

Como temos três vetores geradores que são linearmente independentes (note que v3 tem componente na quarta coordenada enquanto v1,v2 não), dim W=3. Logo dim W^perp=4-3=1, isto é, existe exatamente uma forma linear não trivial que zera em todo W.

Passo 3

Seja u=(a,b,c,d)in W^perp. Para u anular cada gerador de W devemos ter
ucdot v1=-a+b+0+0=0, ucdot v2=2a+b+3c+0=0, ucdot v3=0+0+2c - d=0

Passo 4

Resolvendo o sistema
-b+a=0, 2a+b+3c=0, 2c - d=0,
da primeira equação vem b=a. Substituindo na segunda:
2a+a+3c=0Longrightarrow3a+3c=0Longrightarrow c=-a
Da terceira:
2(-a)-d=0Longrightarrow d=-2a
Logo
u=(a,a,-a,-2a)=a,(1,1,-1,-2),
e podemos escolher u=(1,1,-1,-2) como gerador de W^perp.

Passo 5

A condição ucdot x=0 para x=(x1,x2,x3,x4)in W é
1cdot x1 + 1cdot x2 + (-1)cdot x3 + (-2)cdot x4 = 0,
isto é,
x1 + x2 - x3 - 2x4 = 0

Resposta

A equação que descreve o subespaço W é
x1 + x2 - x3 - 2x4 = 0

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