Sejam
um espaço vetorial e
. Mostre as seguintes afirmações:
c) se
então
.
c) se
Passo 1
O enunciado está em um espaço vetorial
(sobre, digamos,
) e diz que existe
tal que
Queremos mostrar que isso força
a ser o vetor zero. Para isso vamos usar os axiomas de multiplicação escalar, em particular a existência do escalar
e a distributividade.
Passo 2
Começamos com
Multiplicamos essa igualdade pelo escalar
:
Passo 3
Pelo axioma da distributividade do produto escalar sobre soma de vetores e pelo fato de
, temos
Passo 4
Agora somamos os escalares em
:
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