Sejam V um espaço vetorial e v=(v1, v2), u=(u1, u2), w=(w1, w2) in V. Mostre as seguintes afirmações:
c) se u+u=0 então u=0.

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial V (sobre, digamos, R) e diz que existe uin V tal que
u + u = 0
Queremos mostrar que isso força u a ser o vetor zero. Para isso vamos usar os axiomas de multiplicação escalar, em particular a existência do escalar tfrac12 e a distributividade.

Passo 2

Começamos com
u + u = 0
Multiplicamos essa igualdade pelo escalar tfrac12:
tfrac12,(u+u) ;=;tfrac12cdot 0

Passo 3

Pelo axioma da distributividade do produto escalar sobre soma de vetores e pelo fato de tfrac12cdot 0=0, temos
tfrac12,u + tfrac12,u = 0

Passo 4

Agora somamos os escalares em tfrac12,u + tfrac12,u:
l(tfrac12 + tfrac12r)u = 1cdot u = u
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u = 0

Resposta

u=0.

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