Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
(e) F(R, R) o espaço de todas as funções de R em R e L: F(R, R) F(R, R) definida como
L(f(x))=f(x+1)-f(x)

Passo 1

O enunciado define o espaço F(R,R) de todas as funções de R em R e a aplicação
Lcolon F(R,R)to F(R,R), L(f)(x)=f(x+1)-f(x)
O conteúdo aqui é verificar se L satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade escalar.

Passo 2

Definição de transformação linear: uma aplicação L é linear se, para quaisquer f,gin F(R,R) e qualquer escalar cinR, valerem
L(f+g)=L(f)+L(g) e L(c,f)=c,L(f)

Passo 3

Verificação da aditividade:
L(f+g)(x) = (f+g)(x+1) - (f+g)(x) = f(x+1)+g(x+1) - l(f(x)+g(x)r) = l(f(x+1)-f(x)r) + l(g(x+1)-g(x)r)
Ou seja,
L(f+g)(x) = L(f)(x) + L(g)(x),
logo L(f+g)=L(f)+L(g).

Passo 4

Verificação da homogeneidade escalar:
L(c,f)(x) = (c,f)(x+1) - (c,f)(x) = c,f(x+1) - c,f(x) = cl(f(x+1)-f(x)r) = c,L(f)(x)
Logo L(c,f)=c,L(f).

Resposta

A aplicação L definida por L(f)(x)=f(x+1)-f(x) satisfaz aditividade e homogeneidade escalar, portanto é uma transformação linear.

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