Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
(e)
o espaço de todas as funções de
em
e
definida como
(e)
Passo 1
O enunciado define o espaço
de todas as funções de
em
e a aplicação
O conteúdo aqui é verificar se
satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade escalar.
Passo 2
Definição de transformação linear: uma aplicação
é linear se, para quaisquer
e qualquer escalar
, valerem
Passo 3
Verificação da aditividade:
Ou seja,
logo
.
Passo 4
Verificação da homogeneidade escalar:
Logo
.
Resposta
A aplicação
definida por
satisfaz aditividade e homogeneidade escalar, portanto é uma transformação linear.