Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que a diferença entre os quadrado de suas distâncias aos pontos
e
vale 12.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de forma que a diferença entre os quadrados de suas distâncias aos pontos
e
seja igual a 12. Isso está relacionado à Geometria Analítica, especificamente usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da distância e fazer algumas manipulações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o ponto que está se movendo de
. Temos dois pontos fixos:
e
. A distância de
até
é dada pela fórmula:
E a distância de
até
é:
Passo 3
Como o problema fala sobre a diferença dos quadrados dessas distâncias, vamos calcular
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Substituindo esses na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, eliminamos os parênteses:
Agora, combinamos termos semelhantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar os termos para deixar a equação mais simples:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Mas geralmente preferimos números inteiros, então podemos deixar assim ou manter a fração:
Resposta
A equação do lugar geométrico é
.