Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que a diferença entre os quadrado de suas distâncias aos pontos (2,-2) e (4,1) vale 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de forma que a diferença entre os quadrados de suas distâncias aos pontos (2,-2) e (4,1) seja igual a 12. Isso está relacionado à Geometria Analítica, especificamente usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da distância e fazer algumas manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o ponto que está se movendo de P(x, y). Temos dois pontos fixos: A(2, -2) e B(4, 1). A distância de P até A é dada pela fórmula:
PA = raiz(x - 2)^2 + (y - (-2))^2
E a distância de P até B é:
PB = raiz(x - 4)^2 + (y - 1)^2

Passo 3

Como o problema fala sobre a diferença dos quadrados dessas distâncias, vamos calcular PA^2 - PB^2:
PA^2 = (x - 2)^2 + (y + 2)^2
PB^2 = (x - 4)^2 + (y - 1)^2
Então,
PA^2 - PB^2 = [(x - 2)^2 + (y + 2)^2] - [(x - 4)^2 + (y - 1)^2] = 12

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1
Substituindo esses na equação:
[x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4] - [x^2 - 8x + 16 + y^2 - 2y + 1] = 12

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, eliminamos os parênteses:
x^2 - 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 - x^2 + 8x - 16 - y^2 + 2y - 1 = 12
Agora, combinamos termos semelhantes:
  • x^2 - x^2 = 0
  • -4x + 8x = 4x
  • y^2 - y^2 = 0
  • 4y + 2y = 6y
  • 4 + 4 - 16 - 1 = -9
Então, a equação fica:
4x + 6y - 9 = 12

Passo 6

Vamos isolar os termos para deixar a equação mais simples:
4x + 6y = 12 + 9
4x + 6y = 21
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
2x + 3y = 10.5
Mas geralmente preferimos números inteiros, então podemos deixar assim ou manter a fração:
4x + 6y = 21

Resposta

A equação do lugar geométrico é 4x + 6y = 21.

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