Sabemos que a forma escalonada e reduzida da matriz A é a matriz
AE R=(cccc 1 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 )
Seja S o subespaço de R^4 dado pelas soluções do sistema homogêneo A x=0.
(a) Calcule a dimensão de S.
(b) Obtenha uma base para S na qual os vetores sejam dois a dois ortogonais. Você pode querer lembrar da fórmula da projeção ortogonal de um vetor sobre o outro: Pu v=lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u.

Passo 1

O enunciado dá a forma reduzida por linhas de uma matriz A em R^3times4 e pede: (a) a dimensão do subespaço S=vec xinR^4mid Avec x=vec0, (b) uma base ortogonal de S. O conteúdo envolve espaço nulo de uma matriz (variáveis livres e dimensão) e o procedimento de Gram–Schmidt (projeção ortogonal).

Passo 2

Da forma escalonada por linhas
as equações são
Logo e . Tomando e como parâmetros livres, o vetor solução é

Passo 3

Como há dois parâmetros livres ( s,t), concluímos que
dim S = 2

Passo 4

Uma base natural de S é
vec u = 1110, vec v = 1001
Elas não são ortogonais, pois lang<= vec v,vec urang<==1. Aplicamos Gram–Schmidt:
Pvec u(vec v) = lang<= vec v,vec urang<=lang<= vec u,vec urang<=,vec u = 13,vec u,
vec w = vec v - Pvec u(vec v) = 1001 - 131110 = 2/3-1/3-1/31
Para evitar frações, podemos usar vec w' = 3vec w=(2,-1,-1,3)^T. Então vec u,vec w' é uma base de S cujos vetores satisfazem lang<= vec u,vec w'rang<==0.

Resposta

(a) dim S = 2.
(b) Uma base ortogonal de S é, por exemplo,
1110, 2-1-13

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