Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
(cc1 & 1 -3 & 2)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 [-6pt] -3 & 2
e pede para dizer se ela é diagonalizável e justificar. Vamos usar o critério de diagonalização via autovalores e autovetores: uma matriz é diagonalizável sobre um corpo se existe uma base de autovetores, o que em dimensão 2 equivale a ter dois autovalores (no corpo) distintos, ou então ter multiplicidade geométrica total igual a 2.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det!1-lambda & 1 [-4pt] -3 & 2-lambda = (1-lambda)(2-lambda) - (1)(-3)
Expandindo,
chiA(lambda) = lambda^2 -3lambda +2 +3 = lambda^2 - 3lambda + 5 ]

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiA(lambda)=0:
lambda = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot1cdot52 = 3 pm raiz9 - 202 = 3 pm iraiz112
Note que são dois valores distintos, mas ambos não são reais.

Passo 4

Como os autovalores são distintos, A tem dois autovetores linearmente independentes no corpo onde esses autovalores existem.
  • Sobre C, esses autovalores existem e são distintos, logo A admite base de autovetores em C^2 e é diagonalizável em C.
  • Sobre R, não há autovalores reais, portanto não se pode formar sequer um autovetor real; A não é diagonalizável em R.

Resposta

Sobre R: não diagonalizável (não há autovalores reais).
Sobre C: diagonalizável (tem dois autovalores complexos distintos).

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