Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 3 & -1 & 2 0 & 6 & 7 0 & 0 & 5
é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: precisamos encontrar os autovalores de A e comparar a multiplicidade algébrica de cada autovalor com sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço de autovetores).
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal. Logo,
lambda1 = 3, lambda2 = 6, lambda3 = 5
Todos são distintos, então cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1.
Passo 3
Um teorema padrão de álgebra linear diz que se uma matriz ntimes n tem n autovalores distintos, então ela é diagonalizável: cada autovalor gera um autovetor não-nulo e esses autovetores são linearmente independentes, totalizando uma base de R^3.
Resposta
A matriz é diagonalizável, pois tem três autovalores distintos.