Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
(ccc12 & 17 & -8 17 & 0 & 3 -8 & 3 & 15)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 12 & 17 & -8 17 & 0 & 3 -8 & 3 & 15
é diagonalizável e justificar. O conteúdo principal aqui é o estudo de autovalores e autovetores e o Teorema Espectral para matrizes simétricas.

Passo 2

Observe que os elementos de A satisfazem
a12=17=a21, a13=-8=a31, a23=3=a32,
portanto
A^T = A
Isto é, A é uma matriz real simétrica.

Passo 3

Pelo Teorema Espectral, toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal: existem autovalores reais lambda1,lambda2,lambda3 e uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A. Em notação, existe matriz ortogonal P tal que
P^T A,P = D
é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A.

Passo 4

Como A é real e simétrica, satisfaz as hipóteses do Teorema Espectral. Logo, ela admite uma diagonalização ortogonal, o que implica que é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável porque é real e simétrica, e pelo Teorema Espectral toda matriz real simétrica admite diagonalização ortogonal.

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