Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 12 & 17 & -8 17 & 0 & 3 -8 & 3 & 15
é diagonalizável e justificar. O conteúdo principal aqui é o estudo de autovalores e autovetores e o Teorema Espectral para matrizes simétricas.
Passo 2
Observe que os elementos de A satisfazem
a12=17=a21, a13=-8=a31, a23=3=a32,
portanto
A^T = A
Isto é, A é uma matriz real simétrica.
Passo 3
Pelo Teorema Espectral, toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal: existem autovalores reais lambda1,lambda2,lambda3 e uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A. Em notação, existe matriz ortogonal P tal que
P^T A,P = D
é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A.
Passo 4
Como A é real e simétrica, satisfaz as hipóteses do Teorema Espectral. Logo, ela admite uma diagonalização ortogonal, o que implica que é diagonalizável.
Resposta
A matriz é diagonalizável porque é real e simétrica, e pelo Teorema Espectral toda matriz real simétrica admite diagonalização ortogonal.