Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cujo produto de suas distâncias às retas 4 x-3 y+11=0 e 4 x+3 y+5=0 é igual a \frac{144}{25}.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que o produto das distâncias de P às retas
L_1:4x - 3y +11=0 \quad\text{e}\quad L_2:4x + 3y +5=0
vale \tfrac{144}{25}.
Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto à reta:
d(P,L)\;=\;\frac{\lvert Ax+By+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}.

Passo 2

Calculemos as distâncias de P=(x,y) a cada reta.
Para L_1 temos
d_1=\frac{\lvert 4x -3y +11\rvert}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} =\frac{\lvert 4x -3y +11\rvert}{5},
e para L_2
d_2=\frac{\lvert 4x +3y +5\rvert}{\sqrt{4^2+3^2}} =\frac{\lvert 4x +3y +5\rvert}{5}.

Passo 3

O enunciado diz que
d_1\cdot d_2=\frac{144}{25}.
Substituindo d_1 e d_2 obtém-se
\frac{\lvert 4x -3y +11\rvert}{5}\;\cdot\;\frac{\lvert 4x +3y +5\rvert}{5} =\frac{144}{25} \quad\Longrightarrow\quad \lvert(4x -3y +11)(4x +3y +5)\rvert=144.

Passo 4

A igualdade acima implica dois casos algébricos, pois o valor absoluto pode corresponder a
(4x -3y +11)(4x +3y +5)=144 \quad\text{ou}\quad (4x -3y +11)(4x +3y +5)=-144.

Passo 5

Expandindo o produto
(4x -3y +11)(4x +3y +5) =16x^2-9y^2+64x+18y+55.
Assim, os dois casos tornam-se:
16x^2-9y^2+64x+18y+55=144 \quad\Longrightarrow\quad 16x^2-9y^2+64x+18y-89=0,
16x^2-9y^2+64x+18y+55=-144 \quad\Longrightarrow\quad 16x^2-9y^2+64x+18y+199=0.

Resposta

O lugar geométrico é a união das duas conicas dadas por
(4x -3y +11)(4x +3y +5)=144 \quad\text{e}\quad (4x -3y +11)(4x +3y +5)=-144,
ou, de forma expandida,
16x^2-9y^2+64x+18y-89=0 \quad\text{e}\quad 16x^2-9y^2+64x+18y+199=0.

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