Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distância à reta y=6 é igual ao quadrado da distância ao ponto (3,3).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à reta y=6 é igual ao quadrado da distância de P ao ponto (3,3).
Conteúdo usado: fórmulas de distância ponto–reta e ponto–ponto em geometria analítica.

Passo 2

Seja
d_{\text{reta}}=\text{dist}(P,\;y=6)=|y-6|,
d_{\text{ponto}}=\text{dist}\bigl(P,\;(3,3)\bigr) =\sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2}\,.
A condição é
|y-6| \;=\;\bigl(d_{\text{ponto}}\bigr)^2 \;=\;(x-3)^2+(y-3)^2.
Para eliminar o valor absoluto dividimos em dois casos:
  1. y\ge6 com y-6=(x-3)^2+(y-3)^2.
  2. y<6 com 6-y=(x-3)^2+(y-3)^2.

Passo 3

Caso y\ge6:
y-6=(x-3)^2+(y-3)^2 \;\Longrightarrow\; x^2 -6x+9 + y^2 -6y+9 -y+6=0
\Longrightarrow\; x^2 + y^2 -6x -7y +24=0.
Completando quadrados:
(x-3)^2 -9 \;+\;(y-\tfrac{7}{2})^2 -\tfrac{49}{4} +24=0 \;\Longrightarrow\; (x-3)^2+(y-\tfrac{7}{2})^2=-\tfrac{11}{4}\,.
Não há pontos reais, pois o “raio” ao quadrado é negativo.

Passo 4

Caso y<6:
6-y=(x-3)^2+(y-3)^2 \;\Longrightarrow\; x^2 -6x+9 + y^2 -6y+9 +y-6=0
\Longrightarrow\; x^2 + y^2 -6x -5y +12=0.
Completando quadrados:
(x-3)^2 -9 \;+\;(y-\tfrac{5}{2})^2 -\tfrac{25}{4} +12=0 \;\Longrightarrow\; (x-3)^2+(y-\tfrac{5}{2})^2=\tfrac{13}{4}.
O raio é \sqrt{13}/2\approx1,80 e o centro é \bigl(3,\tfrac52\bigr).
Como toda a circunferência fica com y\in[\tfrac52-\tfrac{\sqrt{13}}2,\;\tfrac52+\tfrac{\sqrt{13}}2]\subset(0,6), ela satisfaz y<6.

Resposta

A única parte do lugar geométrico é a circunferência
(x-3)^2+\Bigl(y-\tfrac{5}{2}\Bigr)^2=\tfrac{13}{4},
centro em \bigl(3,\tfrac52\bigr) e raio \frac{\sqrt{13}}2.
Esboço: círculo de raio \approx1,80 centrado em (3,2{,}5), inteiramente abaixo da reta y=6.

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