Determine todos os valores de k para os quais a equação
representa elipses e hipérboles. Esboce a curva para
e dê os focos e a excentricidade.
Passo 1
O enunciado dá a família de cônicas
dependendo do parâmetro
. Vamos usar o critério de classificação por meio dos sinais dos denominadores:
- Para elipse, ambos os denominadores devem ser positivos.
- Para hipérbole, um denominador positivo e o outro negativo.
Passo 2
Para que seja elipse precisamos ter
Isso equivale a
ou seja, a condição mais forte é
Passo 3
Para que seja hipérbole, os denominadores devem ter sinais opostos, isto é,
As raízes da função quadrática
são
e
, e o produto é negativo quando
Passo 4
Em
ou
algum denominador fica zero, a equação deixa de representar cônica não degenerada. Para
ambos os denominadores são negativos, tornando o lado esquerdo sempre negativo, o que não pode igualar
. Logo não há cônica real para
.
Passo 5
Resumindo:
- Elipse para
. - Hipérbole para
.
Passo 6
Agora tomamos
, que está no intervalo
, logo é uma hipérbole. Substituindo:
fica
É uma hipérbole centrada em
, com
logo
,
. O foco está em
dado por
Como os eixos transverso e conjugado são horizontais e verticais, os focos são
A excentricidade é
Os ramos abrem à direita e à esquerda, com assíntotas
Resposta
Elipse para
.
Hipérbole para .
Hipérbole para
Para
:
focos em
e
e excentricidade
.