Determine todos os valores de k para os quais a equação \frac{(x-4)^{2}}{9+k}+\frac{y^{2}}{5+k}=1 representa elipses e hipérboles. Esboce a curva para k=-7 e dê os focos e a excentricidade.

Passo 1

O enunciado dá a família de cônicas
\frac{(x-4)^{2}}{9+k}+\frac{y^{2}}{5+k}=1
dependendo do parâmetro k. Vamos usar o critério de classificação por meio dos sinais dos denominadores:
  • Para elipse, ambos os denominadores devem ser positivos.
  • Para hipérbole, um denominador positivo e o outro negativo.

Passo 2

Para que seja elipse precisamos ter
9+k>0 \quad\text{e}\quad 5+k>0.
Isso equivale a
k>-9 \quad\text{e}\quad k>-5,
ou seja, a condição mais forte é
k>-5.

Passo 3

Para que seja hipérbole, os denominadores devem ter sinais opostos, isto é,
(9+k)\,(5+k)<0.
As raízes da função quadrática (9+k)(5+k) são k=-9 e k=-5, e o produto é negativo quando
-9<k<-5.

Passo 4

Em k=-9 ou k=-5 algum denominador fica zero, a equação deixa de representar cônica não degenerada. Para k<-9 ambos os denominadores são negativos, tornando o lado esquerdo sempre negativo, o que não pode igualar 1. Logo não há cônica real para k<-9.

Passo 5

Resumindo:
  • Elipse para k>-5.
  • Hipérbole para -9<k<-5.

Passo 6

Agora tomamos k=-7, que está no intervalo -9<k<-5, logo é uma hipérbole. Substituindo:
9+(-7)=2, \quad 5+(-7)=-2,
fica
\frac{(x-4)^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{-2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-4)^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1.
É uma hipérbole centrada em (4,0), com
a^{2}=2,\quad b^{2}=2,
logo a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}. O foco está em c dado por
c^{2}=a^{2}+b^{2}=2+2=4 \quad\Longrightarrow\quad c=2.
Como os eixos transverso e conjugado são horizontais e verticais, os focos são
(4\pm c,\,0)=(4\pm2,0)\;\Rightarrow\;(6,0)\text{ e }(2,0).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Os ramos abrem à direita e à esquerda, com assíntotas
y=\pm\frac{b}{a}(x-4) =\pm(x-4).

Resposta

Elipse para k>-5.
Hipérbole para -9<k<-5.
Para k=-7:
\frac{(x-4)^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1,
focos em (6,0) e (2,0) e excentricidade e=\sqrt{2}.

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