Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto (2,-1) é sempre igual a duas vezes sua distância à reta x+2=0.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a distância de P ao foco F=(2,-1) é sempre o dobro da distância de P à reta diretora d\colon x+2=0.
Conteúdo: definição de cônica através de foco–diretriz (eixo focal, excentricidade e).
Passo 2
Escrevemos as duas distâncias. A distância de P a F é
Isto é uma hipérbole de centro C=(-\tfrac{10}{3},-1), excentricidade \displaystyle e=2, eixo transverso paralelo ao eixo x, com \displaystyle a^2=\tfrac{64}{9}, \displaystyle b^2=\tfrac{64}{3}.
Passo 6
Esboço:
Centro em \bigl(-\tfrac{10}{3},-1\bigr).
Vértices em \bigl(-\tfrac{10}{3}\pm \tfrac{8}{3},\,-1\bigr), isto é em (-2,-1) e (-6,-1).
Assimptotas: a partir de C com coeficientes \pm b/a=\pm\sqrt3.
No plano, desenha-se o reticulado, marca-se C, os vértices, e as duas retas que passam por C de declive \pm\sqrt3; em seguida traça-se a hipérbole com ramos abertos horizontalmente.