Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que sua distância ao ponto (2,-1) é sempre igual a duas vezes sua distância à reta x+2=0.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a distância de P ao foco F=(2,-1) é sempre o dobro da distância de P à reta diretora d\colon x+2=0.
Conteúdo: definição de cônica através de foco–diretriz (eixo focal, excentricidade e).

Passo 2

Escrevemos as duas distâncias. A distância de P a F é
PF = \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2}\,.
A distância de P à reta x+2=0 é
\mathrm{dist}(P,d) = \bigl|x+2\bigr|.

Passo 3

Pela condição do enunciado,
\sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} \;=\; 2\,\bigl|x+2\bigr|.
Elevando ao quadrado,
(x-2)^2 + (y+1)^2 \;=\; 4\,(x+2)^2.

Passo 4

Expandindo e reorganizando em forma geral:
x^2 -4x +4 + y^2 +2y +1 \;=\; 4x^2 +16x +16
\Longrightarrow -3x^2 -20x + y^2 +2y -11 = 0
ou ainda
3x^2 +20x - y^2 -2y +11 = 0.

Passo 5

Para colocar em forma canónica, completamos quadrados:
3\bigl(x^2 + \tfrac{20}{3}x\bigr)-\bigl(y^2+2y\bigr)+11=0 \;\longrightarrow\; 3\bigl(x+\tfrac{10}{3}\bigr)^2 - (y+1)^2 -\tfrac{64}{3}=0
Multiplicando por 3/64 e rearranjando, obtemos
\frac{(x+\tfrac{10}{3})^2}{\tfrac{64}{9}} \;-\; \frac{(y+1)^2}{\tfrac{64}{3}} \;=\;1.
Isto é uma hipérbole de centro C=(-\tfrac{10}{3},-1), excentricidade \displaystyle e=2, eixo transverso paralelo ao eixo x, com \displaystyle a^2=\tfrac{64}{9}, \displaystyle b^2=\tfrac{64}{3}.

Passo 6

Esboço:
  • Centro em \bigl(-\tfrac{10}{3},-1\bigr).
  • Vértices em \bigl(-\tfrac{10}{3}\pm \tfrac{8}{3},\,-1\bigr), isto é em (-2,-1) e (-6,-1).
  • Assimptotas: a partir de C com coeficientes \pm b/a=\pm\sqrt3.
    No plano, desenha-se o reticulado, marca-se C, os vértices, e as duas retas que passam por C de declive \pm\sqrt3; em seguida traça-se a hipérbole com ramos abertos horizontalmente.

Resposta

Equação em forma geral:
3x^2 +20x - y^2 -2y +11 = 0.
Equação em forma canónica:
\frac{\bigl(x+\tfrac{10}{3}\bigr)^2}{\tfrac{64}{9}} \;-\; \frac{(y+1)^2}{\tfrac{64}{3}} =1.
Classificação: hipérbole de excentricidade e=2, eixo transverso horizontal.

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