Qual é a dimensão de , o espaço das matrizes diagonais de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é a dimensão de , que é o espaço das matrizes diagonais de tamanho . A gente vai usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Ou seja, numa matriz , ela tem a seguinte forma:
Aqui, apenas os elementos a11 , a22 e a33 podem ser diferentes de zero.
Passo 3
Agora, para encontrar a dimensão de Dn , precisamos identificar quantos vetores independentes formam uma base para esse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem gerar todo o espaço.
Passo 4
Observando a matriz diagonal, vemos que podemos representar qualquer matriz desse tipo combinando três matrizes base, onde cada uma tem um único elemento não nulo na diagonal. Essas matrizes base são:
Essas três matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz diagonal pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Passo 5
Como temos três matrizes base que são independentes e cobrem todo o espaço Dn , a dimensão desse espaço é igual ao número de vetores na base, que nesse caso é 3.
Resposta
A dimensão de Dn , o espaço das matrizes diagonais de 3 times 3 , é 3.