Qual é a dimensão de Dn, o espaço das matrizes diagonais de 3 times 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual é a dimensão de Dn , que é o espaço das matrizes diagonais de tamanho 3 times 3 . A gente vai usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais e suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Ou seja, numa matriz 3 times 3 , ela tem a seguinte forma:
a11 & 0 & 0 0 & a22 & 0 0 & 0 & a33
Aqui, apenas os elementos a11 , a22 e a33 podem ser diferentes de zero.

Passo 3

Agora, para encontrar a dimensão de Dn , precisamos identificar quantos vetores independentes formam uma base para esse espaço. Uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem gerar todo o espaço.

Passo 4

Observando a matriz diagonal, vemos que podemos representar qualquer matriz desse tipo combinando três matrizes base, onde cada uma tem um único elemento não nulo na diagonal. Essas matrizes base são:
E11 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E22 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , E33 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Essas três matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz diagonal pode ser escrita como uma combinação linear delas.

Passo 5

Como temos três matrizes base que são independentes e cobrem todo o espaço Dn , a dimensão desse espaço é igual ao número de vetores na base, que nesse caso é 3.

Resposta

A dimensão de Dn , o espaço das matrizes diagonais de 3 times 3 , é 3.

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