Encontre uma base em R^3 para o conjunto de vectores na recta x=3 t, y=-2 t, z=t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base em R^3 para o conjunto de vetores que estão na reta definida por x = 3t, y = -2t, z = t. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como representamos uma reta no espaço e como identificar uma base para esse conjunto de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a equação da reta. As equações paramétricas x = 3t, y = -2t, z = t mostram que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o parâmetro t. Podemos escrever isso de forma vetorial como:
v(t) = t 3 -2 1
Aqui, 3 -2 1 é o vetor diretor da reta, ou seja, a direção na qual a reta se estende.

Passo 3

Agora, para encontrar uma base para o conjunto de todos esses vetores, precisamos identificar os vetores que podem “gerar” todos os outros vetores na reta através de combinações lineares. No caso de uma reta, que é um subespaço unidimensional, basta um único vetor não nulo para formar uma base.

Passo 4

Observando o vetor diretor 3 -2 1 , percebemos que qualquer vetor na reta é um múltiplo escalar desse vetor. Portanto, esse vetor sozinho é suficiente para formar uma base.

Resposta

Uma base para o conjunto de vetores na reta é , 3 -2 1 ,.

Exercícios relacionados