Determine x, y e z na equação matricial
4[rrx & y z & -1]=2[rry & z -x & 1]+2[rr4 & x 5 & -x]

Passo 1

O enunciado pede para determinar (x,y,z) de modo que valha
4x & y z & -1 = 2y & z -x & 1 +24 & x 5 & -x
O conteúdo aqui é igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as suas entradas correspondentes são iguais. Vamos usar isso para gerar um sistema de equações e resolvê-lo.

Passo 2

Calculemos cada lado separadamente. De um lado temos
4x & y z & -1 = 4x & 4y 4z & -4
Do outro lado, primeiro multiplicamos cada matriz por 2 e somamos:
2y & z -x & 1 = 2y & 2z -2x & 2, 24 & x 5 & -x = 8 & 2x 10 & -2x,
então
2y & z -x & 1 +24 & x 5 & -x = 2y+8 & 2z+2x -2x+10 & 2-2x

Passo 3

Igualando as entradas da matriz do Passo 2 com as do Passo 2, obtemos o sistema
4x = 2y + 8, 4y = 2z + 2x, 4z = -2x + 10, -4 = 2 - 2x
A última equação é a mais direta para encontrar x:
-4 = 2 - 2x Longrightarrow -6 = -2x Longrightarrow x = 3

Passo 4

Com x=3, voltamos às outras equações:
4x = 2y + 8 Longrightarrow 4cdot3 = 2y + 8 Longrightarrow 12 = 2y + 8 Longrightarrow 2y = 4 Longrightarrow y = 2,
4z = -2x + 10 Longrightarrow 4z = -2cdot3 + 10 Longrightarrow 4z = 4 Longrightarrow z = 1
Podemos conferir que a equação do meio ,4y = 2z + 2x também fecha:
4cdot2 = 2cdot1 + 2cdot3 Longrightarrow 8 = 2 + 6 checkmark

Resposta

x = 3, y = 2, z = 1

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