Qual é:
A projeção ortogonal de X=(1,-2) na reta x+y=0 ?

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal do ponto ,(1,-2) sobre a reta definida por ,x+y=0. O conteúdo aqui é projeção de um vetor sobre uma reta que passa pela origem, usando produto escalar e vetor diretor.

Passo 2

Para achar a projeção ortogonal devemos primeiro escolher um vetor diretor da reta. A equação ,x+y=0 pode ser escrita como ,y=-x, logo um vetor que gera essa reta é
vec d = (1,-1)
A projeção de vec X=(1,-2) sobre a reta gerada por vec d é dada por
projvec dvec X = vec Xcdot vec dvec dcdot vec d,vec d

Passo 3

Calculamos os produtos escalar:
,vec Xcdotvec d = 1cdot1 + (-2)cdot(-1) = 1 + 2 = 3
e
,vec dcdotvec d = 1^2 + (-1)^2 = 2.
Substituindo na fórmula,
projvec dvec X = 32,(1,-1) = l(tfrac32,-tfrac32r)

Passo 4

Para confirmar, basta ver que ,tfrac32 + l(-tfrac32r)=0, ou seja, o ponto l(tfrac32,-tfrac32r) realmente pertence à reta ,x+y=0.

Resposta

A projeção ortogonal de ,(1,-2) na reta x+y=0 é l(tfrac32,-tfrac32r).

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