Determine a equação da parábola:
e. com foco em F(1,3) e diretriz de equação y=-1;
Resp. (x-1)^2=8(y-1);

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola com foco em (1,3) e diretriz y=-1. O conteúdo envolvido é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância à diretriz.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola.
A distância de P ao foco F(1,3) é
dF = raiz(x-1)^2 + (y-3)^2
A distância de P à reta y=-1 é
dd = l|y -(-1)r|raiz1^2+0^2 = |y+1|
Como a parábola fica acima da diretriz ( y>-1), temos |y+1|=y+1. Logo a condição de lugar geométrico é
raiz(x-1)^2 + (y-3)^2 = y+1

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
(x-1)^2 + (y-3)^2 = (y+1)^2
Expandindo e simplificando:
(x-1)^2 + l(y^2 -6y +9r) = y^2 +2y +1
(x-1)^2 -6y +9 = 2y +1
(x-1)^2 = 8y -8

Passo 4

Reescrevendo, chegamos à forma canônica da parábola:
(x-1)^2 = 8,(y-1)

Resposta

(x-1)^2 = 8(y-1)

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