Por meio de uma translação conveniente dos eixos, transforme as equações que seguem em equações do 2^circ grau, sem os termos do 1^circ grau:
a. 2 x^2+y^2+16 x-4 y+32=0
Resp.: 2 x^prime 2+y^prime 2-4=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
2x^2 + y^2 + 16x - 4y + 32 = 0
e pede que, por meio de uma translação conveniente dos eixos, eliminemos os termos de primeiro grau em x e y. Vamos usar completar quadrados e definir novas variáveis x' e y'.

Passo 2

Agrupamos e completamos quadrados nos termos de x e de y:
2x^2 + 16x = 2l(x^2 + 8xr) = 2l[(x+4)^2 - 16r] = 2(x+4)^2 - 32,
y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
2(x+4)^2 - 32 ;+;(y-2)^2 - 4 ;+;32 ;=;0 Longrightarrow 2(x+4)^2 + (y-2)^2 - 4 = 0

Passo 4

Basta agora definir a translação
x' = x + 4, y' = y - 2,
que elimina os termos lineares, resultando em
2x'^2 + y'^2 - 4 = 0

Resposta

2x'^2 + y'^2 - 4 = 0

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