Determine a equação da parábola:
j. cujo foco é
e o vértice coincide com a origem.
Resp.
;
j. cujo foco é
Resp.
Passo 1
O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é
e cujo vértice coincide com a origem
. Vamos usar a definição geométrica: uma parábola é o lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
Precisamos então (1) determinar a reta diretriz e (2) impor essa igualdade de distâncias.
Passo 2
O eixo da parábola é a reta que passa por vértice e foco. Como o vértice é
e o foco é
, o vetor direção do eixo é
A diretriz é perpendicular a esse eixo, portanto sua normal é proporcional a
. Logo, a diretriz tem equação
com
a constante a determinar.
Passo 3
O vértice fica à mesma distância do foco e da diretriz. A distância foco-vértice é
de modo que a distância da origem à reta
deve ser também
. A fórmula da distância ponto-reta dá
Para escolher o sinal de
, note que o foco pertence ao “interior” da parábola, então testamos em
o ponto
:
deve ser positivo, o que leva a
. Como
, a escolha é
. Assim a diretriz é
Passo 4
Agora impomos a definição: para
Elevando ao quadrado (e dispensando o valor absoluto, pois o sinal se ajusta à forma geral), temos
Passo 5
Expandindo e simplificando,
Resposta
A equação da parábola é