Determine a equação da parábola:
j. cujo foco é F(1,2) e o vértice coincide com a origem.
Resp. 4 x^2-4 x y+y^2-20 x-40 y=0;

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é F(1,2) e cujo vértice coincide com a origem (0,0). Vamos usar a definição geométrica: uma parábola é o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que satisfazem
distância(P,F);=;distância(P,diretriz) ââ
Precisamos então (1) determinar a reta diretriz e (2) impor essa igualdade de distâncias.

Passo 2

O eixo da parábola é a reta que passa por vértice e foco. Como o vértice é (0,0) e o foco é (1,2), o vetor direção do eixo é
vec v = (1,2)
A diretriz é perpendicular a esse eixo, portanto sua normal é proporcional a vec v. Logo, a diretriz tem equação
x + 2y + d = 0,
com d a constante a determinar.

Passo 3

O vértice fica à mesma distância do foco e da diretriz. A distância foco-vértice é
raiz(1-0)^2+(2-0)^2 = raiz5,
de modo que a distância da origem à reta x+2y+d=0 deve ser também raiz5. A fórmula da distância ponto-reta dá
|0+2cdot0 + d|raiz1^2+2^2 = |d|raiz5 = raiz5 Longrightarrow |d|=5
Para escolher o sinal de d, note que o foco pertence ao “interior” da parábola, então testamos em x+2y+d o ponto (1,2):
1 + 2cdot2 + d = 5 + d
deve ser positivo, o que leva a 5+d>0. Como |d|=5, a escolha é d=-5. Assim a diretriz é
x + 2y + 5 = 0

Passo 4

Agora impomos a definição: para P(x,y)
raiz(x-1)^2 + (y-2)^2 ;=; l|,x + 2y + 5r|raiz1^2+2^2 ;=; |x+2y+5|raiz5
Elevando ao quadrado (e dispensando o valor absoluto, pois o sinal se ajusta à forma geral), temos
5l[(x-1)^2 + (y-2)^2r] = (x + 2y + 5)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando,
5(x^2 -2x+1 + y^2 -4y+4) ;=; x^2 +4xy +4y^2 +10x +20y +25
5x^2 -10x +5 +5y^2 -20y +20 ;=; x^2 +4xy +4y^2 +10x +20y +25
(5x^2 - x^2) + (5y^2 -4y^2) -4xy +(-10x-10x)+(-20y-20y)+(5+20-25)=0
4x^2 -4xy + y^2 -20x -40y = 0

Resposta

A equação da parábola é
4x^2 ;-;4xy;+;y^2;-;20x;-;40y;=;0

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