Mediante uma rotação de eixos, elimine o termo x y nas equações:
a. x^2+4 x y+y^2-2=0
Resp.: 3 x^prime 2-y^prime 2-2=0

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo de mistura xy na curva
x^2 + 4xy + y^2 - 2 = 0
usando uma rotação de eixos. Esse é um caso clássico de conica com coeficiente misto Bneq0, e vamos precisar da fórmula
tan 2theta = BA - C
para encontrar o ângulo theta que cancela o termo xy.

Passo 2

Identificamos na equação original os coeficientes
A = 1, B = 4, C = 1
Logo
tan 2theta = 41 - 1 = 40 = infty
o que implica
2theta = pi2 Longrightarrow theta = pi4

Passo 3

Para achar os novos coeficientes A' e C' (com B'=0), usamos as fórmulas
A' = A+C2 + A-C2cos 2theta + B2sin 2theta,
C' = A+C2 - A-C2cos 2theta - B2sin 2theta
Como A=C e sin2theta=1, temos
A' = A + B2cdot1 = 1 + 42 = 3,
C' = A - B2cdot1 = 1 - 2 = -1

Passo 4

Substituindo esses coeficientes na equação rotacionada l(B'=0r), obtemos
3x'^2 - y'^2 - 2 = 0

Resposta

3x'^2 ;-; y'^2 ;-; 2 ;=; 0

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