Determine a equação da parábola \mathcal{P} cuja reta focal é paralela ao eixo-OX e passa pelos pontos \left(\frac{3}{2},-1\right),(0,5) e (-6,-7).
Solução.
Como a reta focal da parábola \mathcal{P} é paralela ao eixo- O X, sua equação deve ser da forma \mathcal{P}:\left(y-y_{0}\right)^{2}= \pm 4 p\left(x-x_{0}\right), que se escreve também na forma:
\mathcal{P}: y^{2}+D x+E y+F=0
Substituindo as coordenadas dos pontos dados nessa equação, temos:
Resolvendo o sistema, obtemos D=8, E=-2 e F=-15.
Portanto, a equação da parábola é
y^{2}+8 x-2 y-15=0
isto é,
y^{2}-2 y+1=15-8 x+1
ou, ainda,
\mathcal{P}:(y-1)^{2}=-8(x-2)
Assim, a parábola \mathcal{P} tem vértice V=(2,1) e reta focal \ell: y=1, paralela ao eixo- O X. Como 4 p=8, isto é, p=2, e o foco F está à esquerda da diretriz, temos que F=(0,1) e a diretriz \mathcal{L}: x=4.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dá que a reta focal da parábola \mathcal{P} é paralela ao eixo-O X.
Dá três pontos que pertencem à parábola:
P_1=\left(\dfrac{3}{2},-1\right),
P_2=(0,5),
P_3=(-6,-7).
Pede: determinar a equação da parábola \mathcal{P}.
Informações úteis (retomadas sem resolver ainda):
A reta focal ser paralela ao eixo-OX significa que o eixo da parábola é paralelo ao eixo-OX (ou seja, a parábola abre para a direita ou para a esquerda).
Vamos usar os três pontos dados para determinar os coeficientes da equação da parábola.
Passo 2
Forma geral adequada e relação entre incógnitas.
A forma canônica de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo-OX é
(y-y_0)^2 = 4p(x-x_0),
onde:
(x_0,y_0) é o vértice,
p é o parâmetro (distância algebricamente orientada do vértice ao foco; se p>0 a parábola abre para a direita, se p<0 abre para a esquerda).
Expandindo essa forma obtemos uma forma quadrática em x,y sem termo em x^2:
y^2 + D x + E y + F = 0,
onde D,E,F são constantes que podemos determinar usando os pontos dados. (É uma forma linear em D,E,F quando x,y são conhecidos.)
Relação entre as constantes ao comparar com a forma canônica:
(y-y_0)^2 = 4p(x-x_0) \quad\Longrightarrow\quad y^2 -2y_0 y + y_0^2 = 4p x - 4p x_0,
logo podemos identificar
D = -4p,\qquad E = -2y_0,\qquad F = y_0^2 + 4p x_0.
Mas não precisamos usar y_0,x_0,p diretamente: vamos determinar D,E,F resolvendo um sistema linear usando os três pontos.
Passo 3
Formar o sistema linear usando os três pontos.
Para a equação
y^2 + D x + E y + F = 0,
substituímos cada ponto e obtemos três equações lineares em D,E,F.
Para P_1=\left(\dfrac{3}{2},-1\right):
(-1)^2 + D\cdot\frac{3}{2} + E\cdot(-1) + F = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}D - E + F = -1.
Para P_2=(0,5):
5^2 + D\cdot 0 + E\cdot 5 + F = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5E + F = -25.
Para P_3=(-6,-7):
(-7)^2 + D\cdot(-6) + E\cdot(-7) + F = 0 \quad\Longrightarrow\quad -6D -7E + F = -49.
Portanto o sistema é
\begin{cases} \displaystyle \frac{3}{2}D - E + F = -1,\\[6pt] 5E + F = -25,\\[6pt] -6D -7E + F = -49. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo (eliminação).
Da segunda equação isolamos F:
F = -25 - 5E.
Substituímos F na primeira equação:
\frac{3}{2}D - E + (-25-5E) = -1
\frac{3}{2}D -6E -25 = -1
\frac{3}{2}D -6E = 24.
Multiplicando por 2:
3D -12E = 48.
Dividindo por 3:
D -4E = 16.
Assim
D = 16 + 4E. \tag{A}
Agora substituímos F na terceira equação:
-6D -7E + (-25-5E) = -49
-6D -12E -25 = -49
-6D -12E = -24.
Dividindo por -6:
D + 2E = 4.
Assim
D = 4 - 2E. \tag{B}
Igualando (A) e (B):
16 + 4E = 4 - 2E \quad\Longrightarrow\quad 6E = -12 \quad\Longrightarrow\quad E = -2.
Com E=-2 em (B):
D = 4 - 2(-2) = 4 + 4 = 8.
Com E=-2 em F = -25 -5E:
F = -25 -5(-2) = -25 +10 = -15.
Portanto os coeficientes são D=8,\;E=-2,\;F=-15.
Passo 5
Escrever a equação da parábola e colocá-la na forma canônica (vértice e parâmetro).
A equação obtida é
y^2 + 8x -2y -15 = 0.
Para colocar na forma (y-y_0)^2 = 4p(x-x_0) completamos o quadrado em y.
Agrupando os termos em y:
y^2 -2y + 8x -15 = 0.
Completar o quadrado em y: y^2 -2y = (y-1)^2 -1. Substituindo,
Observação sobre o sinal: p=-2 indica que a parábola abre para a esquerda (coerente com o lado do foco).
Agora podemos identificar vértice, foco e diretriz (explicação rápida das fórmulas usadas):
O vértice é V=(x_0,y_0)=(2,1).
O foco, para (y-y_0)^2 = 4p(x-x_0), está em F=(x_0+p,\,y_0). Aqui:
F=(2 + p,\;1) = (2-2,\;1) = (0,1).
A diretriz tem equação x = x_0 - p. Aqui:
x = 2 - (-2) = 4,
ou seja, diretriz \mathcal{L}: x=4.
Passo 6
Resumo final das formas equivalentes e interpretação geométrica rápida.
Forma implícita (polinomial):
y^2 + 8x -2y -15 = 0.
Forma canônica (vértice):
(y-1)^2 = -8(x-2).
Vértice: V=(2,1).
Foco: F=(0,1).
Diretriz: \mathcal{L}: x=4.
A parábola abre para a esquerda porque p=-2<0.
Força aí — essa resolução foi direta: escrevemos a forma certa, usamos os três pontos para achar os coeficientes (um sistema linear), completamos o quadrado e extraímos vértice/foco/diretriz.