P2 Determine a equação paramétrica:
llx=u y=v z=1+3 u+3 v^2 , ll & 2 v <= u <= 1 .

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte da superfície definida por
z = 1 + 3x + 3y^2
limitada pelas retas no plano xy dadas por
x = 2y e x = 1
Para parametrizar superfícies, basta escolher dois parâmetros livremente – aqui usaremos u para x e v para y.

Passo 2

Definimos a aplicação paramétrica
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,z(u,v)r)
por
x(u,v) = u, y(u,v) = v, z(u,v) = 1 + 3u + 3v^2
Assim as coordenadas (x,y,z) da superfície ficam expressas em função de (u,v).

Passo 3

O domínio de (u,v) vem das restrições
2y <= x <= 1 Longrightarrow 2v <= u <= 1
Não há outra restrição sobre v, exceto que para cada v deve existir u satisfazendo 2v<= u<=1.

Resposta

A parametrização é
r(u,v) = l(u,,v,,1 + 3u + 3v^2r),
com domínio
D = (u,v)mid 2v <= u <= 1

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