P3 Determine a equação paramétrica:
llx=cos theta y=sen theta z=z & , 0 <= theta <= 2 pi & 0 <= z <= 1+cos theta.

Passo 1

O enunciado descreve a superfície lateral do cilindro unitário x^2+y^2=1, limitada entre a base z=0 e a “tampa” z=1+costheta. Vamos usar como parâmetros o ângulo theta e a altura z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, sobre o cilindro de raio 1 temos
x=costheta, y=sintheta
e mantemos z como parâmetro livre que varia entre as curvas de nível.

Passo 3

Portanto a parametrização é
r(theta,z) = l(costheta,;sintheta,;zr)
com os domínios
0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 1+costheta

Resposta

r(theta,z)=(costheta,sintheta,z), 0<=theta<=2pi,;0<= z<=1+costheta

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