Use as propriedades O1 e O3 para justificar que dado qualquer número a neq 0, tem-se a^2 in P.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado com conjunto de positivos P, dado qualquer aneq0 tem-se a^2in P. Vamos usar
  • O1 (tricotomia): para todo aneq0 exatamente uma das alternativas ain P ou -ain P é verdadeira.
  • O3 (fechamento multiplicativo): se xin P e yin P então xyin P.

Passo 2

Pela propriedade O1, como aneq0, temos duas possibilidades mutuamente exclusivas:
(i) ain P ou (ii) -ain P.

Passo 3

Suponha primeiro que ain P.
Então, aplicando O3 a a e a, obtemos
acdot a ;=; a^2 ;in; P

Passo 4

Suponha agora que -ain P.
Novamente por O3,
(-a)cdot(-a);in;P
Mas na álgebra de corpos vale (-a)(-a)=a^2. Logo
a^2in P

Resposta

Em ambos os casos concluímos que a^2in P.

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