Use as propriedades O1 e O3 para justificar que dado qualquer número
, tem-se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado com conjunto de positivos
, dado qualquer
tem-se
. Vamos usar
- O1 (tricotomia): para todo
exatamente uma das alternativas ou é verdadeira. - O3 (fechamento multiplicativo): se
e então .
Passo 2
Pela propriedade O1, como
, temos duas possibilidades mutuamente exclusivas:
(i) ou (ii)
.
(i)
Passo 3
Suponha primeiro que
.
Então, aplicando O3 a e
, obtemos
Então, aplicando O3 a
Passo 4
Suponha agora que
.
Novamente por O3,
Novamente por O3,
Mas na álgebra de corpos vale
. Logo
Resposta
Em ambos os casos concluímos que
.