P3 Determine a equação paramétrica:
llx=r cos theta y=r sen theta z=raiz9-r^2, 0 <= theta <= 2 pi 子 r <= 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a parte superior da esfera de raio 3
x^2+y^2+z^2=9, z>=0
limitada sobre o disco x^2+y^2<=4. Para pará-metrizar superfícies de revolução como essa, usamos coordenadas cilíndricas, identificando r e theta como parâmetros.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=rcostheta, y=rsintheta,
e da equação da esfera z=raiz9-r^2, pois estamos na “tampa” superior ( z>=0).

Passo 3

O domínio de r e theta vem da projeção sobre o plano xy:
0<= r<=2, 0<=theta<=2pi

Passo 4

Juntando tudo em forma vetorial, a parametrização da superfície é
r(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;raiz9-r^2r),
com
0<= r<=2, 0<=theta<=2pi

Resposta

boxedr(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;raiz9-r^2r), 0<= r<=2,;0<=theta<=2pi

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