Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se a<0 e b<0, então a b>0.

Passo 1

Resumindo, estamos em um corpo ordenado e temos a<0 e b<0. Queremos mostrar que ab>0 usando apenas as propriedades de corpo (identidades, inversos, associatividade, comutatividade, distributividade) e as propriedades da ordem:
O1) x<yimplies x+z<y+z,
O2) x<y e z>0implies xz<yz,
O3) exatamente uma entre x<y, x=y, x>y.

Passo 2

De a<0 aplicamos O1 somando -a em ambos os lados:
a+(-a)<0+(-a)
Pelo axioma de inverso aditivo a+(-a)=0 e pela identidade aditiva 0+(-a)=-a. Logo,
0< -a

Passo 3

Análogo para b<0: somando -b em ambos os lados e usando inverso e identidade aditiva, obtemos
0< -b

Passo 4

Agora, de 0< -a e 0< -b, aplicamos O2 (multiplicação de desigualdade por número positivo) e concluímos
0 < (-a)(-b)

Passo 5

Mostramos que (-1)(-1)=1. Como 1+(-1)=0, multiplicamos ambos os lados por -1 e usamos distributividade e o fato de 0 ser absorvente:
0=(1+(-1))(-1)=1cdot(-1)+(-1)(-1)=-1+(-1)(-1)
Somando 1 (pela O1) em ambos os lados e usando inverso aditivo, vem
1=(-1)(-1)

Passo 6

Observe que, por definição de -1, temos -a=(-1)a e -b=(-1)b. Então, pela associatividade e comutatividade da multiplicação e pelo passo 5,
(-a)(-b)=l((-1)ar)l((-1)br)=(-1)(-1),(a b)=1cdot(ab)=ab

Passo 7

Juntando o passo 4 ( 0<(-a)(-b)) com o passo 6 ( (-a)(-b)=ab), obtemos
0<ab,
ou seja, ab>0.

Resposta

ab>0.

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