Usando apenas as propriedades das operações em um corpo e as propriedades da ordem O1, O2 e O3, prove o que se pede. Justifique cada passo da demonstração indicando qual propriedade ou teorema foi usado.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Resumindo, estamos em um corpo ordenado e temos
e
. Queremos mostrar que
usando apenas as propriedades de corpo (identidades, inversos, associatividade, comutatividade, distributividade) e as propriedades da ordem:
O1) ,
O2) e
,
O3) exatamente uma entre ,
,
.
O1)
O2)
O3) exatamente uma entre
Passo 2
De
aplicamos O1 somando
em ambos os lados:
Pelo axioma de inverso aditivo
e pela identidade aditiva
. Logo,
Passo 3
Análogo para
: somando
em ambos os lados e usando inverso e identidade aditiva, obtemos
Passo 4
Agora, de
e
, aplicamos O2 (multiplicação de desigualdade por número positivo) e concluímos
Passo 5
Mostramos que
. Como
, multiplicamos ambos os lados por
e usamos distributividade e o fato de
ser absorvente:
Somando
(pela O1) em ambos os lados e usando inverso aditivo, vem
Passo 6
Observe que, por definição de
, temos
e
. Então, pela associatividade e comutatividade da multiplicação e pelo passo 5,
Passo 7
Juntando o passo 4 (
) com o passo 6 (
), obtemos
ou seja,
.