P3 Determine a equação paramétrica:
llx=r cos theta y=r z=r sen theta , 0 <= theta <= 2 pi .

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície dada pelas equações
x = rcostheta, y = r, z = rsintheta, 0 <= theta <= 2pi
O conteúdo aqui é “parametrização de superfícies” em R^3. Para resolver, precisamos escolher dois parâmetros (aqui r e theta) e escrever a função vetor que gera cada ponto da superfície.

Passo 2

Reconhecemos que r e theta já são os parâmetros:
  • theta varia no intervalo [0,2pi] e gira em torno do eixo y.
  • r é a “distância” ao eixo y. Para cobrir toda a superfície, tomamos r>=0.

Passo 3

Montamos a função vetor que associa a cada par (r,theta) um ponto (x,y,z):
r(r,theta) = l(x(r,theta),,y(r,theta),,z(r,theta)r) = l(rcostheta,;r,;rsinthetar)

Passo 4

Especificamos o domínio dos parâmetros para cobrir a parte “de cima” do cone:
0 <= r < +infty, 0 <= theta <= 2pi
Essa parametrização descreve exatamente a superfície dada por x^2+z^2=y^2 com y>=0.

Resposta

r(r,theta) = l(rcostheta,;r,;rsinthetar), rin[0,infty),; thetain[0,2pi]

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