Mostrar, por indução, que
n!>2^n, forall n >= 4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que
n! > 2^n, forall n >= 4
Aqui o método de prova por indução envolve dois momentos:
  1. Verificar a validade para n=4 (caso base).
  2. Assumir que vale para n=k>=4 e então provar para n=k+1 (passo indutivo).

Passo 2

Caso base ( n=4):
4! = 24 e 2^4 = 16,
logo
4! = 24 > 16 = 2^4
Assim, a propriedade vale para n=4.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>= 4 já seja verdade que
k! > 2^k

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1):
Partimos de
(k+1)! = (k+1)cdot k!
Pela hipótese de indução temos k!>2^k, então
(k+1)! > (k+1)cdot 2^k
Como k>=4 implica k+1>=5, segue
(k+1)cdot 2^k >= 5cdot 2^k = 2cdot 2^k + 3cdot 2^k > 2cdot2^k = 2^,k+1
Logo
(k+1)! > 2^,k+1,
o que conclui o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que
n! > 2^n
para todo n>=4.

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